Können digitale Computer die Unendlichkeit verstehen?

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Als menschliches Wesen können wir an Unendlichkeit denken. Wenn wir über genügend Ressourcen (Zeit usw.) verfügen, können wir im Prinzip unendlich viele Dinge zählen (einschließlich abstrakt, wie Zahlen oder real).

Zum Beispiel können wir zumindest ganze Zahlen berücksichtigen. Grundsätzlich können wir unendlich viele Zahlen, die auf dem Bildschirm angezeigt werden, denken und "verstehen". Heutzutage versuchen wir künstliche Intelligenz zu entwerfen, die zumindest menschlich ist. Ich stecke jedoch in der Unendlichkeit fest. Ich versuche einen Weg zu finden, wie man einem Modell (tief oder nicht) beibringen kann, die Unendlichkeit zu verstehen. Ich definiere "Verstehen" in einem funktionalen Ansatz. Wenn ein Computer beispielsweise 10 verschiedene Zahlen oder Dinge unterscheiden kann, bedeutet dies, dass er diese verschiedenen Dinge wirklich irgendwie versteht. Dies ist der einfache Ansatz zum "Verstehen".

Wie ich bereits erwähnt habe, verstehen Menschen die Unendlichkeit, weil sie im Prinzip zumindest unendliche ganze Zahlen zählen können. Wenn ich aus dieser Sicht ein Modell erstellen möchte, ist das Modell tatsächlich eine Funktion im abstrakten Sinne, dieses Modell muss unendlich viele Zahlen unterscheiden. Wie kann ich ein Modell erstellen, das unendlich viele ganze Zahlen unterscheidet, da es sich bei Computern um digitale Maschinen handelt, die nur über eine begrenzte Kapazität zum Modellieren einer solchen unendlichen Funktion verfügen?

Zum Beispiel können wir ein Deep-Learning-Vision-Modell verwenden, das Zahlen auf der Karte erkennt. Dieses Modell muss jeder Karte eine Nummer zuweisen, um jede Ganzzahl zu unterscheiden. Wie kann das Modell, da es unendlich viele Ganzzahlen gibt, jeder Ganzzahl auf den Digitalcomputern wie einem Menschen eine andere Zahl zuweisen? Wenn es unendliche Dinge nicht unterscheiden kann, wie versteht es dann die Unendlichkeit?

Wenn ich reelle Zahlen berücksichtige, wird das Problem viel schwieriger.

Was ist der Punkt, den ich vermisse? Gibt es Ressourcen, die sich auf das Thema konzentrieren?

deep-learning philosophy agi sehr gut
quelle

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Die meisten von uns Menschen verstehen die Unendlichkeit nicht gut genug. Mich eingeschlossen.

naiv

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@Amrinder Arora Laut starker KI können wir davon ausgehen, dass Verständnis nur so tut als ob. Daher kann das Modell, das verschiedene Signale unterscheiden kann, die Signale oder Begriffe irgendwie verstehen (wie Sie es nennen).

Sehr

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Ich hatte vor kurzem eine lange Diskussion mit einigen sehr intelligenten Leuten, die einfach nicht verstanden haben, wie es gleich viele ganze Zahlen, positive ganze Zahlen, sogar ganze Zahlen, sogar positive ganze Zahlen und Primzahlen geben kann. Daher würde ich Ihre Aussage anfechten, dass Menschen Unendlichkeit verstehen. Beachten Sie auch, dass es mathematisch gesehen keine "Unendlichkeit" gibt. Es gibt viele Zweige der Mathematik, die alle unterschiedliche Vorstellungen von Unendlichkeit haben können, und jeder Zweig der Mathematik kann keine, eine oder mehrere Vorstellungen von Unendlichkeit haben. Dann gibt es sogar unterschiedlich große Unendlichkeiten!

Jörg W Mittag

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Ich bin ein bisschen verwirrt, niemand hat darauf hingewiesen, dass im Grunde genommen jeder Computer bereits mit Unendlich

umgeht

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@ JörgWMittag ist richtig. Unendlichkeit ist ein Begriff, der je nach Fachgebiet der Mathematik unterschiedlich definiert wird. IEEE754 definiert ein ziemlich konsistentes Regelwerk für die Behandlung von Unendlichkeiten, die den meisten realen Rechensystemen auf den meisten Computern zugrunde liegen. Es gibt aber auch andere Regeln. Einer KI können solche Regeln beigebracht werden. Ob es neue und bessere erfinden kann, liegt außerhalb meiner Gehaltsstufe: de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems

Rich

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Ich denke, dies ist ein ziemlich häufiges Missverständnis über KI und Computer, insbesondere unter Laien. Es gibt verschiedene Dinge, die Sie hier auspacken müssen.

Nehmen wir an, dass Unendlichkeit (oder kontinuierliche Konzepte) etwas Besonderes ist, das sie für die KI besonders schwierig macht. Damit dies zutrifft, muss es sowohl so sein, dass Menschen diese Konzepte verstehen können, während sie Maschinen fremd bleiben, als auch dass es andere Konzepte gibt, die nicht wie Unendlichkeit sind, die sowohl Menschen als auch Menschen Maschinen verstehen können. Was ich in dieser Antwort zeigen werde, ist, dass der Wunsch nach beiden Dingen zu einem Widerspruch führt.

Die Wurzel dieses Missverständnisses ist das Problem dessen, was es bedeutet, zu verstehen . Verständnis ist ein vager Begriff im täglichen Leben, und diese vage Natur trägt zu diesem Missverständnis bei.

Wenn unter verstehen zu verstehen ist, dass ein Computer die bewusste Erfahrung eines Konzepts hat, dann sind wir schnell in der Metaphysik gefangen. Es gibt eine lange und im Wesentlichen offene Debatte darüber, ob Computer irgendetwas in diesem Sinne "verstehen" können, und manchmal sogar darüber, ob Menschen dies können! Sie können sich auch fragen, ob ein Computer das 2 + 2 = 4 "verstehen" kann. Wenn es also etwas Besonderes ist , Unendlichkeit zu verstehen, kann es nicht mit "Verstehen" im Sinne einer subjektiven Erfahrung in Verbindung gebracht werden.

Nehmen wir also an, dass wir unter "verstehen" eine spezifischere Definition haben. Etwas, das das "Verstehen" eines Konzepts wie Unendlich für einen Computer komplizierter macht als ein Konzept wie Arithmetik. Unsere konkretere Definition für "Verstehen" muss sich auf eine objektiv messbare Kapazität oder Fähigkeit beziehen, die mit dem Konzept zusammenhängt (ansonsten befinden wir uns wieder im Land der subjektiven Erfahrung). Lassen Sie uns überlegen, welche Kapazität oder Fähigkeit wir wählen könnten, um Unendlichkeit zu einem speziellen Konzept zu machen, das von Menschen und nicht von Maschinen verstanden wird, anders als etwa Arithmetik.

Wir könnten sagen, dass ein Computer (oder eine Person) ein Konzept versteht, wenn er eine korrekte Definition dieses Konzepts liefern kann. Wenn jedoch auch nur ein Mensch die Unendlichkeit unter dieser Definition versteht, sollte es für ihn einfach sein, die Definition aufzuschreiben. Sobald die Definition aufgeschrieben ist, kann ein Computerprogramm sie ausgeben. Jetzt "versteht" der Computer auch die Unendlichkeit. Diese Definition funktioniert für unsere Zwecke nicht.

Wir könnten sagen, dass eine Entität ein Konzept versteht, wenn sie das Konzept richtig anwenden kann . Wenn auch nur eine Person das Konzept der Unendlichkeit richtig anwenden kann, müssen sie nur die Regeln aufzeichnen, die sie zum Begründen des Konzepts verwenden, und wir können ein Programm schreiben, das das Verhalten dieses Regelsystems reproduziert. Infinity ist eigentlich sehr gut als ein Konzept charakterisiert, das in Ideen wie Aleph Numbers festgehalten ist . Es ist nicht unpraktisch, diese Regelsysteme in einem Computer zu verschlüsseln, zumindest so weit, dass jeder Mensch sie versteht. Daher können Computer Unendlichkeit auch nach dieser Definition bis zu demselben Verständnisniveau wie Menschen "verstehen". Diese Definition funktioniert also nicht für unsere Zwecke.

Wir könnten sagen, dass eine Entität einen Begriff "versteht", wenn sie diesen Begriff logisch mit willkürlichen neuen Ideen in Beziehung setzen kann. Dies ist wahrscheinlich die stärkste Definition, aber wir müssten hier ziemlich vorsichtig sein: Sehr wenige Menschen haben (proportional) ein tiefes Verständnis für ein Konzept wie Unendlichkeit. Noch weniger können es leicht mit beliebigen neuen Konzepten in Verbindung bringen. Darüber hinaus können Algorithmen wie der Allgemeine Problemlöser prinzipiell alle logischen Konsequenzen aus einem gegebenen Tatsachenbestand ableiten, sofern genügend Zeit zur Verfügung steht. Vielleicht verstehen Computer unter dieser Definition die Unendlichkeit besser als die meisten Menschen, und es gibt sicherlich keinen Grund anzunehmen, dass unsere vorhandenen Algorithmen diese Fähigkeit im Laufe der Zeit nicht weiter verbessern werden. Diese Definition scheint auch nicht unseren Anforderungen zu entsprechen.

Schließlich können wir sagen, dass eine Entität ein Konzept "versteht", wenn sie Beispiele dafür generieren kann. Zum Beispiel kann ich Beispiele für Probleme in der Arithmetik und deren Lösungen generieren. Unter dieser Definition "verstehe" ich wahrscheinlich keine Unendlichkeit, weil ich in der realen Welt keine konkreten Dinge aufzeigen oder erschaffen kann, die definitiv unendlich sind. Ich kann zum Beispiel nicht wirklich eine unendlich lange Liste von Zahlen aufschreiben, sondern nur Formeln, die Möglichkeiten zum Erstellen immer längerer Listen ausdrücken, indem ich mich immer mehr bemühe, sie aufzuschreiben. Ein Computer sollte dabei mindestens so gut sein wie ich. Diese Definition funktioniert auch nicht.

Dies ist keine erschöpfende Liste möglicher Definitionen von "versteht", aber wir haben "versteht" behandelt, wie ich es ziemlich gut verstehe. Unter jeder Definition von Verstehen gibt es nichts Besonderes an Unendlichkeit, das es von anderen mathematischen Konzepten unterscheidet.

Das Ergebnis ist also, dass Sie entweder entscheiden, dass ein Computer überhaupt nichts "versteht", oder dass es keinen besonders guten Grund gibt anzunehmen, dass Unendlichkeit schwerer zu verstehen ist als andere logische Konzepte. Wenn Sie anderer Meinung sind, müssen Sie eine konkrete Definition des Begriffs "Verstehen" angeben, die das Verständnis der Unendlichkeit von anderen Konzepten unterscheidet und nicht von subjektiven Erfahrungen abhängt (es sei denn, Sie möchten behaupten, dass Ihre bestimmten metaphysischen Ansichten allgemein korrekt sind, aber das ist es ein hartes Argument zu machen).

Unendlichkeit hat in der Öffentlichkeit eine Art semi-mystischen Status, aber es ist wirklich wie jedes andere mathematische Regelsystem: Wenn wir die Regeln aufschreiben können, nach denen Unendlichkeit funktioniert, kann ein Computer sie genauso gut wie ein Mensch ( oder besser).

John Doucette
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@verdery Ich versuche in meiner Antwort zu verstehen, dass es keinen Konflikt zwischen unendlichen und endlichen Mengen gibt. Ein Computer kann alle Elemente einer unendlichen Menge in genau demselben Sinne zählen wie ein Mensch (im Prinzip). Wenn ein Mensch jedem Element einer Menge eine andere Nummer zuweisen kann, dann deshalb, weil er eine Funktion schreiben kann, die diese Beziehung beschreibt. Sobald sie eine Beziehung formell genug ausdrücken können, um sie als Funktion zu schreiben, können wir eine Berechnung programmieren, um dasselbe zu tun.

John Doucette

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@verdery Ich glaube ich verstehe was du fragst. Ich denke, die Wurzel Ihres Problems ist, dass Sie mit der Aussage "Menschen verstehen Unendlichkeit" einen Zuschreibungsfehler gemacht haben. "Verstehen" ist hier nicht gebunden. In meiner Antwort versuche ich zu demonstrieren, dass unendliche Konzepte oder kontinuierliche Konzepte, unabhängig davon, welche Definition von "verstehen" Sie annehmen, nichts Besonderes sind, im Gegensatz zu diskreten. Entweder "verstehen" Computer Elemente aus beiden Kategorien von Konzepten oder aus beiden.

John Doucette

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@nbro Ich stimme zu. Ich denke, das Problem ist, dass, ohne eine Definition von "Verstehen" vorzuschlagen, nicht klar ist, ob es etwas Besonderes an Unendlichkeit gibt, das "Verstehen" anders macht als das Verstehen anderer Konzepte. Der Sinn meiner Antwort besteht nicht darin, die Richtigkeit der von mir vorgeschlagenen Definitionen anzudeuten , sondern zu zeigen, dass eine bestimmte Definition, in der "Menschen Unendlichkeit verstehen und Computer nicht", gleichermaßen für "Menschen verstehen x und Computer nicht" gilt. für jedes x. Das heißt, wir sollten die Prämisse ablehnen, dass Unendlichkeit etwas Besonderes ist.

John Doucette

5

@nbro Ich verstehe nicht, wie wichtig es ist. Wenn Sie

nicht erweitern können und ein Computer

nicht erweitern kann und Sie Dinge über

berechnen können und ein Computer Dinge über

berechnen kann , wie können Ihre Bedenken hinsichtlich irrationaler Zahlen für die vorliegende Frage relevant sein? Die Maschine hat genau die gleichen Fähigkeiten wie Sie.

i

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John Doucette

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@nbro Wenn Sie Ihre Überzeugungen nur durch Annahme erklären können, haben Sie das Problem auf eine Angelegenheit Ihres eigenen Glaubens reduziert, und wir sind hier fertig.

Jakebeal

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Ich denke, Ihre Prämisse ist fehlerhaft.

Sie scheinen anzunehmen, dass zum "Verstehen" von (*) Unendlichkeiten eine unendliche Verarbeitungskapazität erforderlich ist, und implizieren, dass Menschen genau dies haben, da Sie sie als das Gegenteil zu begrenzten, endlichen Computern darstellen.

Der Mensch hat aber auch eine begrenzte Verarbeitungskapazität. Wir sind Wesen, die aus einer endlichen Anzahl von Elementarteilchen aufgebaut sind, die eine endliche Anzahl von Atomen und eine endliche Anzahl von Nervenzellen bilden. Wenn wir auf die eine oder andere Weise Unendlichkeiten "verstehen" können, dann können auch endliche Computer gebaut werden, die dies können.

(* Ich habe in Anführungszeichen "Verstehen" verwendet, weil ich nicht auf die Definition von Empfindungsvermögen usw. eingehen möchte. Ich denke auch nicht, dass dies in Bezug auf diese Frage von Bedeutung ist.)

Als menschliches Wesen können wir an Unendlichkeit denken. Wenn wir über genügend Ressourcen (Zeit usw.) verfügen, können wir im Prinzip unendlich viele Dinge zählen (einschließlich abstrakt, wie Zahlen oder real).

Hier sagst du es tatsächlich laut. "Mit genügend Ressourcen." Gilt das auch nicht für Computer?

Während Menschen können , Unendlichkeiten zB Einsatz , wenn Grenzen usw. und kann mir die Idee, etwas zu bekommen beliebig größer Berechnung, können wir es nur abstrakt tun, nicht im Sinne beliebig große Zahlen verarbeiten zu können. Die gleichen Regeln, die wir für die Mathematik verwenden, könnten auch einem Computer beigebracht werden.

ilkkachu
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Mit "begrenzten Ressourcen" meine ich, dass wir nur eine begrenzte Zeit haben. Ich kann meine Behauptung anhand eines solchen Beispiels klarstellen: Ein Mensch kann eine größere Zahl identifizieren / erkennen / definieren als eine Zahl, die unter Verwendung der Speicherkapazität von Computern auf der Erde gespeichert wird.

Sehr

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@verdery A subtil: Sie behaupten, dass es eine sehr große Zahl gibt, die Sie erkennen können. Aber Sie gehen davon aus, dass es außerhalb Ihres Gedächtnisses gespeichert ist und dass Sie logisch überprüfen können, ob es sich um eine gültige Nummer handelt. Sie sagen dann, dass der Computer diese Nummer nicht speichern kann. Aber kein Mensch kann sich an eine Zahl erinnern, die so breit ist wie die Galaxie, aber wir könnten von einem Ende zum anderen gehen und sicherstellen, dass sie gültig ist. Ein Computer kann das auch. Sie sagen "zu Unrecht", dass der Computer die Nummer speichern muss, obwohl Sie externen Speicher zulassen. Das heißt, Ihr Gedankenexperiment ist der Maschine gegenüber unfair.

respektvoll

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@verdery das ist genau mein punkt. Ein Mensch kann die Zahl algorithmisch verifizieren. Somit existiert ein Algorithmus für eine Maschine, um genau denselben Prozess durchzuführen. Vorausgesetzt, das Gerät verfügt über die unbegrenzten Ressourcen, die Sie selbst zugewiesen haben, kann es auch den Namensregeln der Nummer folgen und den Namen ausgeben. Sie haben die Kraft der Abstraktion als einen Prozess erwähnt. Warum kann ein Hochgeschwindigkeits-Computerprozessor das nicht auch? Das heißt, was ist die grundlegende Einschränkung der Maschine?

respektvoll

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@verdery Nein, wenn der Computer mit den unbegrenzten Ressourcen ausgestattet ist, die Sie theoretisch für sich beansprucht haben, kann er nur seinen Speicher erweitern. Ein Teil des Programms besteht darin, bei Bedarf mehr Speicher zuzuweisen. Das ist so, als würde man sagen, die Menschen seien begrenzt, weil uns das Papier ausgeht, um diese Zahl aufzuschreiben. Wir sprechen von theoretischen Grenzen, nicht von harten Grenzen. Wenn einer Maschine unbegrenzte Ressourcen erlaubt sind, gibt es keine Nummer, die sie nicht benennen könnte. Ich frage also noch einmal: Was ist die theoretische Grundbegrenzung der Maschine?

respektvoll

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@verdery hier ist mein Punkt: Eine Maschine mit unbegrenztem Speicher entspricht einer Turing-Maschine mit einem Band unbegrenzter Länge. Es gibt keine große Anzahl, die nicht auf dem Band gespeichert werden kann. Solange die theoretische Maschine, von der wir sprechen, auf diese Turing-Maschine reduzierbar ist, gibt es nichts zu beweisen. Das heißt, Sie müssen formal nachweisen, dass es eine endliche Zahl gibt, die nicht auf dem unbegrenzten Band gespeichert werden kann. Dies ist unmöglich, da dies der Definition des Bandes widerspricht.

Respektvolle

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TL; DR : Die Feinheiten der Unendlichkeit werden im Begriff der Unbegrenztheit deutlich. Unbegrenztheit ist endlich definierbar. "Unendliche Dinge" sind wirklich Dinge mit unbegrenzter Natur. Unendlichkeit wird am besten nicht als Ding, sondern als Konzept verstanden. Der Mensch besitzt theoretisch unbegrenzte Fähigkeiten und keine unendlichen Fähigkeiten (z. B. bis zu einer beliebigen Zahl zu zählen, statt bis zur Unendlichkeit zu zählen). Eine Maschine kann dazu gebracht werden, Unbegrenztheit zu erkennen.

Wieder das Kaninchenloch runter

Wie geht es weiter? Beginnen wir mit "Grenzen".

Einschränkungen

Unser Gehirn ist nicht unendlich (damit Sie nicht an Metaphysik glauben). Wir denken also nicht "unendlich". Was wir also als Unendlichkeit bezeichnen, wird am besten als ein endliches mentales Konzept verstanden, mit dem wir andere Konzepte "vergleichen" können.

Außerdem können wir "keine unendlichen ganzen Zahlen zählen". Es gibt eine hier auf subtile Weise das ist sehr wichtig , darauf hinzuweisen:

Unser Mengen- / Zahlenbegriff ist unbegrenzt . Das heißt, für jeden endlichen Wert haben wir einen endlichen / konkreten Weg oder produzieren einen anderen Wert, der streng größer / kleiner ist. Das heißt, wird bereitgestellt endliche Zeit konnten wir nur zählen endliche Mengen.

Man kann nicht "unendlich viel Zeit" haben, um "alle Zahlen zu zählen". Dies würde ein "Ende" bedeuten, das dem Begriff der Unendlichkeit direkt widerspricht. Es sei denn, Sie glauben, dass Menschen metaphysische Eigenschaften haben, die es ihnen ermöglichen, ein Paradoxon "konsequent" zu verkörpern. Wie würden Sie außerdem antworten: Was war die letzte Nummer, die Sie gezählt haben? Ohne "letzte Zahl" gibt es niemals ein "Ende" und somit niemals ein "Ende" Ihrer Zählung. Das heißt, Sie können nie genug Zeit / Ressourcen haben, um "bis unendlich zu zählen".

Ich denke, Sie meinen, wir können den Begriff der Bijektion zwischen unendlichen Mengen verstehen . Aber dieser Begriff ist eine logische Konstruktion (dh es ist eine endliche Methode, um das zu streiten, was wir als unendlich verstehen).

Was wir jedoch wirklich tun, ist: Innerhalb unserer Grenzen sprechen wir über unsere Grenzen, und wann immer wir müssen, können wir unsere Grenzen erweitern (um einen endlichen Betrag). Und wir können sogar über die Art der Erweiterung unserer Grenzen sprechen . Somit:

Unbegrenztheit

Ein Prozess / eine Sache / eine Idee / ein Objekt gilt als unbegrenzt, wenn ein Maß für seine Menge / sein Volumen / seine Existenz gegeben ist und wir auf endliche Weise eine "Ausdehnung" des Objekts erzeugen können, das ein Maß hat, das wir als "größer" (oder "kleiner" erachten. im Fall von Infinitesimalen) als die vorherige Maßnahme und dass dieser Erweiterungsprozess auf das entstehende Objekt angewendet werden kann (dh der Prozess ist rekursiv).

Kanonischer Fall Nummer eins: Die natürlichen Zahlen

Darüber hinaus verhindert unser Begriff der Unendlichkeit jede "At-Ness" oder "On-Ness" bis zur Unendlichkeit. Das heißt, man "kommt" niemals ins Unendliche und man "hat" niemals das Unendliche. Man geht vielmehr unbegrenzt vor.

Wie stellen wir uns also die Unendlichkeit vor?

Unendlichkeit

Es scheint, dass "Unendlichkeit" als ein Wort falsch verstanden wird, um zu bedeuten, dass es etwas gibt, das "Unendlichkeit" genannt wird, im Gegensatz zu einem Konzept, das "Unendlichkeit" genannt wird. Lasst uns Atome mit dem Wort zerschlagen:

Unendlich: grenzenlos oder endlos in Raum, Ausdehnung oder Größe; unmöglich zu messen oder zu berechnen.

in: ein Präfix lateinischen Ursprungs, das dem englischen un entspricht und eine negative oder privative Kraft hat und frei als englisches Formativ verwendet wird, insbesondere von Adjektiven und ihren Derivaten sowie von Substantiven (Unaufmerksamkeit; nicht vertretbar; billig; anorganisch; unveränderlich). ( Quelle )

Endlich: Grenzen haben.

Unendlichkeit ist also wirklich Unendlichkeit, die keine Grenzen hat . Aber wir können hier genauer sein, weil wir uns alle einig sein können, dass die natürlichen Zahlen unendlich sind, aber jede gegebene natürliche Zahl endlich ist. Also was gibt es? Einfach: Die natürlichen Zahlen erfüllen unser Unbegrenztheitskriterium und daher sagen wir "die natürlichen Zahlen sind unendlich".

Das heißt, "Unendlichkeit" ist ein Konzept. Ein Objekt / Ding / eine Idee wird als unendlich angesehen, wenn es eine Eigenschaft / Facette besitzt, die nicht begrenzt ist. Nach wie vor haben wir gesehen, dass Unbegrenztheit endlich definierbar ist.

Wenn der Agent, von dem Sie sprechen, gut genug programmiert ist, um das Muster in den Zahlen auf den Karten zu erkennen, und die Zahlen alle aus derselben Menge stammen, kann dies die unbegrenzte Natur der Sequenz herleiten und somit die Menge aller Zahlen definieren als unendlich - nur weil die Menge keine Obergrenze hat . Das heißt, das Fortschreiten der natürlichen Zahlen ist unbegrenzt und daher definitiv unendlich.

Unendlichkeit ist für mich daher am besten als allgemeines Konzept zu verstehen, um zu identifizieren, wann Prozesse / Dinge / Ideen / Objekte eine unbegrenzte Natur haben. Das heißt, die Unendlichkeit ist nicht unabhängig von der Unbegrenztheit. Versuchen Sie, die Unendlichkeit zu definieren, ohne sie mit endlichen Dingen oder den Grenzen dieser endlichen Dinge zu vergleichen.

Fazit

Es scheint machbar, dass eine Maschine so programmiert werden kann, dass sie unbegrenzte Ereignisse darstellt und erkennt, oder wenn es zulässig ist, unbegrenzte Ereignisse anzunehmen.

respektvoll
quelle

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Ich denke, Sie sollten die Aussage klarstellen: "Der Mensch besitzt unbegrenzte Eigenschaften, nicht unendliche Eigenschaften".

Nr.

@nbro Gute Kritik, ich sehe die Unklarheit der ursprünglichen Aussage. Ich habe aktualisiert, um die beabsichtigte Bedeutung besser zu erfassen.

Respektvoller

8

In Haskell können Sie Folgendes eingeben:

print [1..]

und es wird die unendliche Folge von Zahlen ausgedruckt, beginnend mit:

[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,150,151,152,153,154,155,156,157,158,159,160,161,162,163,164,165,166,167,168,169,170,171,172,173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,193,194,195,196,197,198,199,200,201,202,203,204,205,206,207,208,209,210,211,212,213,214,215,216,217,218,219,220,221,222,223,224,225,226,227,228,229,230,231,232,233,234,235,236,237,238,239,240,241,242,243,244,245,246,247,248,249,250,251,252,253,254,255,256,257,258,259,260,261,262,263,264,265,266,267,268,269,270,271,272,273,274,275,276,277,278,279,280,281,282,283,284,285,286,287,288,289,290,291,292,293,294,295,296,297,298,299,300,301,302,303,304,305,306,307,308,309,310,311,312,313,314,315,316,317,318,319,320,321,322,323,324,325,326,327,328,329,330,331,332,333,334,335,336,337,338,339,340,341,342,343,344,345,346,347,348,349,350,351,352,353,354,355,356,357,358,359,360,361,362,363,364,365,366,367,368,369,370,371,372,373,374,375,376,377,378,379,380,381,382,383,384,385,386,387,388,389,390,391,392,393,394,395,396,397,398,399,400,401,402,403,404,405,406,407,408,409,410,411,412,413,414,415,416,417,418,419,420,421,422,423,424,425,426,427,428,429,430,431,432,433,434,435,436,437,438,439,440,441,442,443,444,445,446,447,448,449,450,451,452,453,454,455,456,457,458,459,460,461,462,463,464,465,466,467,468,469,470,471,472,473,474,475,476,477,478,479,480,481,482,483,484,485,486,487,488,489,490,491,492,493,494,495,496,497,498,499,500,501,502,503,504,505,506,507,508,509,510,511,512,513,514,515,516,517,518,519,520,521,522,523,524,525,526,527,528,529,530,531,532,533,534,535,536,537,538,539,540,541,542,543,544,545,546,547,548,549,550,551,552,553,554,555,556,557,558,559,560,561,562,563,564,565,566,567,568,569,570,571,572,573,574,575,576,577,578,579,580,581,582,583,584,585,586,587,588,589,590,591,592,593,594,595,596,597,598,599,600,601,602,603,604,605,606,607,608,609,610,611,612,613,614,615,616,617,618,619,620,621,622,623,624,625,626,627,628,629,630,631,632,633,634,635,636,637,638,639,640,641,642,643,644,645,646,647,648,649,650,651,652,653,654,655,656,657,658,659,660,661,662,663,664,665,666,667,668,669,670,671,672,673,674,675,676,677,678,679,680,681,682,683,684,685,686,687,688,689,690,691,692,693,694,695,696,697,698,699,700,701,702,703,704,705,706,707,708,709,710,711,712,713,714,715,716,717,718,719,720,721,722,723,724,725,726,727,728,729,730,731,732,733,734,735,736,737,738,739,740,741,742,743,744,745,746,747,748,749,750,751,752,753,754,755,756,757,758,759,760,761,762,763,764,765,766,767,768,769,770,771,772,773,774,775,776,777,778,779,780,781,782,783,784,785,786,787,788,789,790,791,792,793,794,795,

Dies geschieht so lange, bis auf Ihrer Konsole nicht mehr genügend Arbeitsspeicher vorhanden ist.

Versuchen wir etwas interessanteres.

double x = x * 2
print (map double [1..])

Und hier ist der Beginn der Ausgabe:

[2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100,102,104,106,108,110,112,114,116,118,120,122,124,126,128,130,132,134,136,138,140,142,144,146,148,150,152,154,156,158,160,162,164,166,168,170,172,174,176,178,180,182,184,186,188,190,192,194,196,198,200,202,204,206,208,210,212,214,216,218,220,222,224,226,228,230,232,234,236,238,240,242,244,246,248,250,252,254,256,258,260,262,264,266,268,270,272,274,276,278,280,282,284,286,288,290,292,294,296,298,300,302,304,306,308,310,312,314,316,318,320,322,324,326,328,330,332,334,336,338,340,342,344,346,348,350,352,354,356,358,360,362,364,366,368,370,372,374,376,378,380,382,384,386,388,390,392

Diese Beispiele zeigen unendliche Berechnungen. Tatsächlich können Sie in Haskell unendliche Datenstrukturen beibehalten, da Haskell den Begriff der Nicht-Strenge hat - Sie können Berechnungen für Entitäten durchführen, die noch nicht vollständig berechnet wurden. Mit anderen Worten, Sie müssen eine unendliche Entität nicht vollständig berechnen, um diese Entität in Haskell zu manipulieren.

Reductio ad absurdum.

noɥʇʎԀʎzɐɹƆ
quelle

2

\infty

$\infty$

6

Die @ nbro-Symbolmanipulation eines Symbols, das die Unendlichkeit darstellt und entsprechende Eigenschaften und Implikationen hat, die für dieses Konzept geeignet sind, ist IMHO die Definition von "Unendlichkeit verstehen".

Peteris

1

@Peteris Ihre Definition des Verstehens ähnelt der von John Doucette. Siehe das chinesische Raumargument. Ich behaupte, dass Sie kein Programm schreiben können, das das Konzept der Unendlichkeit auf alle Fälle anwenden kann.

Nr.

1

@nbro "Ich behaupte, dass Sie kein Programm schreiben können, das das Konzept der Unendlichkeit auf alle Fälle anwenden kann." In der Tat ist dies eine intuitive Schlussfolgerung des Halteproblems - Sie können jede Maschine herstellen, die jedes Problem lösen kann, einschließlich Das Stopp-Problem für Turing-Maschinen - Nennen Sie dies eine "Super-Turing" -Maschine. Aber auf dieser Maschine könnten Sie ein Problem erfinden, das diese "Super-Turing" -Maschine nicht lösen könnte - sagen Sie, ob ein Super-Turing-Programm anhält oder nicht - und Sie würden eine "Super-Super-Turing-Maschine" benötigen. um das zu lösen. Und so weiter. Es ist wie

Godels

kann alles ausdrücken, was das Universum zu bieten hat.

7.

8

Ich glaube, man kann von Menschen sagen, dass sie Unendlichkeit verstehen, zumindest seit Georg Cantor, weil wir über den Begriff der Kardinalität verschiedene Arten von Unendlichkeiten erkennen können (hauptsächlich abzählbar gegen unzählbar) .

Insbesondere ist eine Menge zählbar unendlich, wenn sie auf die natürlichen Zahlen abgebildet werden kann , dh es besteht eine 1: 1-Entsprechung zwischen den Elementen von zählbar unendlich vielen Mengen. Die Menge aller reellen Zahlen ist unzählig, ebenso wie die Menge aller Kombinationen natürlicher Zahlen, da es immer mehr Kombinationen als natürliche Zahlen gibt, wobei n> 2 ist, was zu einer Menge mit einer größeren Kardinalität führt. (Die ersten formalen Beweise für Unzählbarkeit finden sich in Cantor und sind Gegenstand der Philosophie der Mathematik .)

Zum Verständnis der Unendlichkeit gehört Logik im Gegensatz zur Arithmetik, da wir beispielsweise nicht alle Dezimalstellen einer transzendentalen Zahl ausdrücken können, sondern nur Näherungswerte verwenden. Logik ist eine grundlegende Fähigkeit dessen, was wir als Computer betrachten.

Ein Analyseprozess (AI), der eine Funktion erkennen kann, die eine Endlosschleife erzeugt, z. B. using $\pi$ Um einen Kreis zu ziehen, könnte man sagen, man verstehe die Unendlichkeit ...

"Never ending" ist eine Definition der Unendlichkeit mit der Menge der natürlichen Zahlen als Beispiel (es gibt eine kleinste Zahl, 1, aber keine größte Zahl).

Intraktabilität gegen Unendlichkeit

Außerhalb des Sonderfalls der Endlosschleifen muss ich mich fragen, ob eine KI mehr auf rechnerische Unlösbarkeit als auf Unendlichkeit ausgerichtet ist.

Ein Problem wird als unlösbar bezeichnet, wenn nicht genügend Zeit und Raum zur Verfügung stehen, um es vollständig darzustellen, und dies kann auf viele reelle Zahlen ausgedehnt werden.

$\pi$ kann als unendlich verstanden werden, weil es aus einem Kreis entsteht / einen Kreis erzeugt, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies bei allen reellen Zahlen mit einer unlösbaren Anzahl von Dezimalstellen der Fall ist.

Würde die KI annehmen, dass eine solche Zahl unendlich oder nur unlösbar wäre? Der letztere Fall ist konkret im Gegensatz zu abstrakt - entweder kann er die Berechnung beenden oder nicht.

Dies führt zu dem Halteproblem .

Turings Beweis, dass ein allgemeiner Algorithmus zur Lösung des Halteproblems für alle möglichen Programm-Eingabe-Paare nicht existieren kann, könnte als Hinweis darauf gewertet werden, dass ein Algorithmus, der auf dem Turing-Church-Berechnungsmodell basiert, kein perfektes Verständnis der Unendlichkeit haben kann.

Wenn sich ein alternatives Rechenmodell ergab, das das Problem des Anhaltens lösen könnte, könnte argumentiert werden, dass ein Algorithmus ein perfektes Verständnis haben oder zumindest ein dem Menschen vergleichbares Verständnis demonstrieren könnte.

DukeZhou
quelle

1

Die Unlösbarkeit bestimmter Probleme oder die Unberechenbarkeit bestimmter Funktionen ist der Beweis dafür, dass nicht alle Konzepte gleichermaßen "verständlich" oder überhaupt verständlich sind, da eine Maschine (unabhängig von Ihrer Definition des Verständnisses) nur rechnerisch verstehen kann. Meiner Meinung nach ist die akzeptierte Antwort zumindest irreführend. Es reduziert das Problem des Verständnisses der Unendlichkeit auf die Manipulation von Symbolen und behauptet, dass die Schwierigkeit der Manipulation von Symbolen nicht von den Symbolen selbst (oder der Bedeutung der zugehörigen abstrakten Konzepte) abhängt.

Nr.

1

Diese Antwort erkennt zumindest die unterschiedlichen Schwierigkeiten bestimmter Probleme an.

Nr.

1

@nbro Ich glaube, ich bin mit dieser Antwort ein wenig im Unkraut (hoffentlich nicht auf eine Weise, die zu irreführend ist), aber ich wollte Aspekte der Frage ansprechen, die in früheren Antworten nicht behandelt wurden. Mein Gedanke ist, da die Frage als mehrdeutig angesehen werden kann, gibt es mehrere Möglichkeiten, sie anzusprechen.

DukeZhou

1

Sie erwähnen meiner Meinung nach mehrere verwandte Themen, die für die Frage relevant sind. 1. verschiedene Arten von Unendlichkeiten (abzählbar unendlich vs. unzählbar), 2. die Definition von abzählbar unendlich vielen Mengen, 3. die reellen Zahlen sind unzählbar (und der berühmte Beweis für diese Aussage ist Cantors diagonales Argument ), 4. die Implikationen davon Aussage zur Philosophie der Mathematik, 5. Unlösbarkeit gegen Unendlichkeit, 6. die allgemeine Laiendefinition der Unendlichkeit "nie endend", 7. das Halteproblem und implizit die Unlösbarkeit bestimmter Probleme oder die Unberechenbarkeit bestimmter Funktionen.

Nr.

1

Dies sind jedoch viele Konzepte, die zu verstehen oder logisch miteinander zu verbinden sind, auch wenn sie miteinander verbunden sind . Ihre Antwort enthält auch einige Sätze, die nicht sehr klar sind. Zum Beispiel 1. "Das Verständnis der Unendlichkeit beinhaltet Logik im Gegensatz zur Arithmetik, weil wir zum Beispiel nicht alle Dezimalstellen einer transzendentalen Zahl ausdrücken können, sondern nur Näherungswerte verwenden." oder 2. "Es gibt eine Frage, ob ein Kreis nur angenähert werden kann, und ein starkes Argument, dass ein perfekter Kreis dargestellt werden kann."

Nr.

7

(Unten finden Sie eine Zusammenfassung für diejenigen, die zu faul sind oder zu wenig Zeit haben, um das Ganze zu lesen.)

Um diese Frage zu beantworten, werde ich leider hauptsächlich die verschiedenen Räumlichkeiten dekonstruieren.

Wie ich bereits erwähnt habe, verstehen Menschen die Unendlichkeit, weil sie im Prinzip zumindest unendliche ganze Zahlen zählen können.

Ich bin nicht einverstanden mit der Annahme, dass Menschen tatsächlich in der Lage wären, bis ins Unendliche zu zählen. Dazu braucht der Mensch unendlich viel Zeit, unendlich viel Gedächtnis (wie eine Turing-Maschine) und vor allem unendlich viel Geduld - meiner Erfahrung nach langweilen sich die meisten Menschen, bevor sie auf 1.000 zählen.

Ein Teil des Problems mit dieser Prämisse ist, dass Unendlichkeit eigentlich keine Zahl ist, sondern ein Konzept, das eine unbegrenzte Menge von "Dingen" zum Ausdruck bringt. Diese 'Dinge' können alles sein: ganze Zahlen, Sekunden, Lolcats, der wichtige Punkt ist die Tatsache, dass diese Dinge nicht endlich sind.

Weitere Informationen finden Sie in dieser relevanten SE-Frage: https://math.stackexchange.com/questions/260876/what-exactly-is-infinity

Um es anders auszudrücken: Wenn ich Sie fragte: "Welche Zahl kommt vor der Unendlichkeit?" Was wäre deine Antwort? Dieser hypothetische Übermensch musste bis zu dieser Zahl zählen, bevor er die Unendlichkeit zählen konnte. Und sie müssten zuerst die Nummer davor und die vorher und die davor kennen ...

Hoffentlich zeigt dies, warum der Mensch nicht in der Lage wäre, tatsächlich bis ins Unendliche zu zählen - da es am Ende der Zahlenreihe keine Unendlichkeit gibt, ist es das Konzept, das erklärt, dass die Zahlenreihe kein Ende hat. Weder Mensch noch Maschine können tatsächlich damit rechnen, selbst bei unendlicher Zeit und unendlichem Gedächtnis.

Wenn ein Computer beispielsweise 10 verschiedene Zahlen oder Dinge unterscheiden kann, bedeutet dies, dass er diese verschiedenen Dinge wirklich irgendwie versteht.

In der Lage zu sein, zwischen 10 verschiedenen Dingen zu unterscheiden, bedeutet nicht, diese 10 Dinge zu verstehen.

Ein bekanntes Gedankenexperiment, das die Idee hinterfragt, was es bedeutet, zu verstehen, ist John Searles Chinese Room- Experiment:

Stellen Sie sich einen englischen Muttersprachler vor, der kein Chinesisch kann, der in einem Raum voller Kisten mit chinesischen Symbolen (einer Datenbank) eingeschlossen ist, zusammen mit einem Handbuch zur Manipulation der Symbole (des Programms). Stellen Sie sich vor, dass Personen außerhalb des Raums andere chinesische Symbole senden, die für die Person im Raum unbekannt sind und Fragen auf Chinesisch sind (die Eingabe). Und stellen Sie sich vor, dass der Mann im Raum durch Befolgen der Anweisungen im Programm in der Lage ist, chinesische Symbole zu verteilen, die die richtigen Antworten auf die Fragen (die Ausgabe) sind. Das Programm ermöglicht es der Person im Raum, den Turing-Test zu bestehen, um Chinesisch zu verstehen, aber sie versteht kein Wort Chinesisch.

Der Punkt des Arguments ist folgender: Wenn der Mann im Raum kein Chinesisch auf der Grundlage der Implementierung des entsprechenden Programms zum Verstehen von Chinesisch versteht, dann funktioniert auch kein anderer digitaler Computer nur auf dieser Grundlage, weil kein Computer, qua Computer, irgendetwas hat Mann hat nicht.

Diesem Experiment ist zu entziehen, dass die Fähigkeit, Symbole zu verarbeiten, nicht impliziert, dass man diese Symbole tatsächlich versteht. Viele Computer verarbeiten natürliche Sprachen jeden Tag in Form von Text (Zeichen, die als Ganzzahlen codiert sind, normalerweise in einer Unicode-basierten Codierung wie UTF-8), verstehen diese Sprachen jedoch nicht unbedingt. Einfacher Effektiv sind alle Computer in der Lage, zwei Zahlen zu addieren, aber sie verstehen nicht unbedingt, was sie tun.

Mit anderen Worten, selbst im "Deep Learning Vision-Modell" versteht der Computer die angezeigten Zahlen (oder "Symbole") möglicherweise nicht. Es ist lediglich die Fähigkeit des Algorithmus, Intelligenz zu simulieren, die es ermöglicht, sie als künstliche Intelligenz einzustufen .

Zum Beispiel können wir ein Deep-Learning-Vision-Modell verwenden, das Zahlen auf der Karte erkennt. Dieses Modell muss jeder Karte eine Nummer zuweisen, um jede Ganzzahl zu unterscheiden. Wie kann das Modell, da es unendlich viele Ganzzahlen gibt, jeder Ganzzahl auf den Digitalcomputern wie einem Menschen eine andere Zahl zuweisen? Wenn es unendliche Dinge nicht unterscheiden kann, wie versteht es dann die Unendlichkeit?

Wenn Sie den gleichen Kartentest für einen Menschen durchführen und die Anzahl der verwendeten Karten kontinuierlich erhöhen würden, wäre ein Mensch aufgrund von Speichermangel möglicherweise nicht in der Lage, alle Karten im Auge zu behalten. Ein Computer würde das gleiche Problem haben, könnte aber theoretisch den Menschen übertreffen.

Nun frage ich Sie, kann ein Mensch wirklich unendliche Dinge unterscheiden? Persönlich vermute ich, dass die Antwort nein ist, weil alle Menschen ein begrenztes Gedächtnis haben, und dennoch würde ich zustimmen, dass Menschen höchstwahrscheinlich bis zu einem gewissen Grad die Unendlichkeit verstehen können (einige können dies besser als andere).

Als solches denke ich die Frage "Wenn es unendliche Dinge nicht unterscheiden kann, wie versteht es Unendlichkeit?" hat eine fehlerhafte Prämisse - die Fähigkeit, unendliche Dinge zu unterscheiden, ist keine Voraussetzung für das Verständnis des Konzepts der Unendlichkeit.

Zusammenfassung:

Im Wesentlichen hängt Ihre Frage davon ab, was es bedeutet, etwas zu „verstehen“.

Computer können sicher darstellen Unendlich definiert die IEEE - Gleitkomma - Spezifikation sowohl positive als auch negative Unendlichkeit und alle modernen Prozessoren sind in der Lage Gleitpunkte Verarbeitung (entweder in Hardware oder durch Software).

Wenn KIs jemals in der Lage sind, Dinge tatsächlich zu verstehen, können sie theoretisch das Konzept der Unendlichkeit verstehen, aber wir sind noch weit davon entfernt, dies definitiv zu beweisen, und wir müssten zu einem Konsens darüber kommen was es heißt, zuerst etwas zu verstehen.

Pharap
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4

Ich bin der festen Überzeugung, dass digitale Computer Konzepte wie Unendlichkeit, reelle Zahlen oder im Allgemeinen kontinuierliche Konzepte nicht so verstehen können, wie Flatlander die dreidimensionale Welt nicht verstehen. Schauen Sie sich auch das Buch Hyperspace: Eine wissenschaftliche Odyssee durch Paralleluniversen, Zeitverzerrungen und die 10. Dimension (1994) von Michio Kaku an, in dem diese Themen ausführlicher behandelt werden. Natürlich ist in dieser Antwort der Begriff des Verstehens nicht streng definiert, sondern nur intuitiv.

nbro
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7

Ich denke, das ist keine gute Argumentation, obwohl ich es schon oft gesehen habe. Menschen können keine irrationale Zahl exakt darstellen: Wir können entweder ein neues Symbol für eine, wie 'e', erstellen (worüber Computer digital nachdenken können und was dann tun), oder wir können eine endliche Anzahl von Ziffern (und tatsächlich Computer) berechnen das weit besser machen als wir). Mir ist nicht klar, in welchem Sinne wir diese Begriffe in einem "kontinuierlichen" Sinne verstehen.

John Doucette

6

Mein Punkt ist, dass Menschen tatsächlich unendliche Konzepte nicht so verstehen, dass sie unendliche Ressourcen erfordern. Es gibt nichts an dem Konzept der Unendlichkeit, das unendliche Ressourcen zum Nachdenken erfordert. Die Anwendung des Konzepts erfordert möglicherweise unendliche Ressourcen, aber die Menschen haben auch keine.

John Doucette

3

Man kann natürlich sagen, dass Computer nicht verstehen

π

$\pi$ , Und sie nicht verstehen ,

2 + 2

$2+2$ . Mein Punkt ist, dass mir unklar ist, warum Sie denken, dass etwas Besonderes daran ist

π

$\pi$ oder die reellen Zahlen als ein Konzept, das ist verschieden von

2 + 2

$2+2$ .

John Doucette

2

Okay. Das dachte ich zuerst. Meine Frage ist , warum , weil aus meiner Sicht alle Werkzeuge , die Menschen solche Objekte darzustellen verwenden sind diskret.

John Doucette

2

Ich denke, wir nähern uns dem Kernproblem. Wir sind uns einig: Weder Menschen noch Computer können nicht diskrete Dinge berechnen. Die Frage ist also, was sie bedeuten, wenn jemand sagt, "Menschen verstehen kontinuierliche Dinge, Computer jedoch nicht"? Sie können das chinesische Raumargument vorbringen, aber das funktioniert unabhängig davon, was Sie auswählen . Unendlich ist nichts Besonderes. In diesem Fall könnte die Frage von OP genauso einfach lauten: "Warum verstehen Computer die Zahl 2 nicht?". In deiner Antwort sieht es so aus, als ob du denkst, dass Menschen einige Fähigkeiten haben, die Maschinen nicht haben. Was ist es?

John Doucette

4

Dann geht die Prämisse davon aus, dass der Mensch die Unendlichkeit "versteht". Tun wir?

Ich denke, Sie müssen mir sagen, welches Kriterium Sie verwenden würden, wenn Sie zuerst wissen möchten, ob ich die Unendlichkeit "verstehe".

Im OP wird die Idee vertreten, dass ich beweisen könnte, dass ich die Unendlichkeit "verstehe", weil "im Prinzip, wenn wir über genügend Ressourcen (Zeit usw.) verfügen, wir unendlich viele Dinge zählen können (einschließlich abstrakter, wie Zahlen oder Real)."

Das stimmt einfach nicht. Schlimmer noch, wenn es wahr wäre (was es nicht ist), dann wäre es für einen Computer genauso wahr. Hier ist der Grund:

Ja, Sie können im Prinzip ganze Zahlen zählen und sehen, dass das Zählen niemals endet.
Aber selbst wenn Sie genug Ressourcen hätten, könnten Sie niemals "unendlich viele Dinge zählen". Es würde immer mehr geben. Das ist was "unendlich" bedeutet.
Schlimmer noch, es gibt mehrere Ordnungen ("Kardinalitäten") der Unendlichkeit. Die meisten von ihnen kann man nicht zählen, auch nicht mit unendlicher Zeit und vielleicht nicht einmal mit unendlichen anderen Ressourcen. Sie sind eigentlich unzählig. Sie können buchstäblich nicht auf eine Zahlenzeile oder auf eine Menge von ganzen Zahlen abgebildet werden. Sie können nicht so bestellt werden, dass sie auch prinzipiell gezählt werden können.
Schlimmer noch, wie machst du das, wo du "im Prinzip" entscheidest, was ich tun kann, wenn ich es eindeutig nie tun kann, oder auch nur den kleinsten Teil davon? Dieser Schritt fühlt sich wie ein Laie an, wenn man die Probleme nicht konsequent sieht. Es kann nicht trivial sein.
Angenommen, dies war Ihr eigentlicher Test wie im OP. Wenn ich also "im Prinzip mit genügend Ressourcen (Zeit usw.) unendlich viele Dinge zählen könnte", würde es ausreichen, dass Sie entscheiden, dass ich die Unendlichkeit "verstanden" habe (was auch immer das bedeutet). Dann könnte so ein Rechner mit ausreichenden Ressourcen (RAM, Zeit, Algorithmus) arbeiten. Der Test selbst würde also von einem Computer trivial erfüllt, wenn Sie dem Computer die gleichen Kriterien geben würden.

Ich denke, eine realistischere Logik ist, dass diese Frage tatsächlich zeigt, dass die meisten (wahrscheinlich alle?) Menschen die Unendlichkeit tatsächlich nicht verstehen. Unendlichkeit zu verstehen ist also wahrscheinlich nicht gute Wahl für den Test / die Anforderung für AI.

Wenn Sie dies bezweifeln, fragen Sie sich. Verstehen Sie ehrlich, wahr und ernsthaft hundert Billionen Jahre (das mögliche Leben eines roten Zwergsterns)? Können Sie wirklich nachvollziehen, wie es ist, hundert Billionen Jahre zu erleben, oder ist es nur eine 1 mit vielen Nullen? Was ist mit einer Femtosekunde? Oder ein Zeitintervall von ca. 10 ^ -42 Sekunden? Können Sie das wirklich "verstehen"? Eine Zeitskala, mit der sich einer Ihrer Herzschläge mit dem Milliardenfachen des gegenwärtigen Lebens dieses Universums vergleicht? Kannst du die Unendlichkeit wirklich "verstehen"? Es lohnt sich darüber nachzudenken ......

Stilez
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Wenn wir annehmen, dass wir die Unendlichkeit nicht verstehen können, heißt das nicht, dass sie nicht existiert. Es gibt Beispiele in der Physik, die wir nicht verstehen können, aber die existieren. Zum Beispiel Dualität des Lichts und Geschwindigkeitsbegrenzung des Lichts, Relativität in der Natur usw. In diesem Fall haben wir Repräsentationen dieser Begriffe im Kopf. Die gleiche Situation kann für die Unendlichkeit gelten.

Verdery

Oh, das Konzept existiert, aber wie beweisen Sie, dass Sie das Konzept wirklich verstehen? Siehe meine Fragen am Ende. Das ist es, was ich wissen möchte, um zu testen, ob * Sie * selbst (oder jemand) das Konzept wirklich "verstanden" haben. Es ist vielleicht nicht der Test, den Sie wählen würden, aber ich denke, wenn ich das "Verstehen" und nicht die Definition des Wörterbuchs oder die Fähigkeit zur Verwendung des Konzepts testen würde, wäre das mein Test. Und jeder letzte Mensch auf dem Planeten (ich selbst eingeschlossen) würde scheitern.

Stilez

Ich habe eine Frage an Sie: Wenn Sie keine Darstellung im Kopf haben, wie können Sie die Zahl 10 ^ -42 schreiben?

Verdery

1

"Eine Repräsentation zu haben" bedeutet für mich nicht "Verständnis zu haben". Denken Sie an Heinleins Wort "to grok". Das ist "Verständnis" in meinem Buch. Alles andere ist so ziemlich nur das Rezitieren einer Wörterbuchdefinition oder das Manipulieren eines Symbols. Schmerz ist nicht der Begriff Schmerz, Liebe ist nicht der Begriff Liebe, und Unendlichkeit ist nicht nur der Begriff und das Symbol der Unendlichkeit. Ich glaube jedoch nicht, dass Menschen die Unendlichkeit heimsuchen, und wenn Sie keinen Beweis für echtes "Verstehen" verlangen, kann jeder Computer eine Definition vortragen oder die Symbole manipulieren, ohne sie wirklich zu "verstehen" Jeder Mensch konnte.

Stilez

Wenn Sie meine erste Frage in diesem Beitrag sorgfältig lesen, ist mein Ansatz funktionalistisch. Ich spreche nicht von "grok".

Verdery

3

Durch Hinzufügen einiger Regeln für die Unendlichkeit in der Arithmetik (wie Unendlichkeit minus eine große endliche Zahl ist Unendlichkeit usw.) kann der digitale Computer den Begriff der Unendlichkeit zu verstehen scheinen.

Alternativ kann der Computer die Zahl n einfach durch seinen Log-Star- Wert ersetzen . Dann kann es die Zahlen auf einer anderen Skala unterscheiden und lernen, dass jede Zahl mit einem logarithmischen Sternwert> 10 praktisch unendlich ist.

Amrinder Arora
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1

Die Darstellung nur der Unendlichkeit oder einer endlichen Menge, die die Unendlichkeit einschließt, reicht nicht aus, um zu glauben, dass das Modell die Unendlichkeit versteht. Leider ist Ihre Antwort aus meiner Sicht völlig nutzlos.

sehr gut

@verdery Sehr wahr. Ich glaube, dass meine Antwort wahrscheinlich ein Ausgangspunkt ist. Daher der Community Wiki Marker. Ich mag die Antwort von John Ducette sehr.

Amrinder Arora

3

Ich denke, das Konzept, das bisher in der Diskussion fehlt, ist symbolische Repräsentation. Wir Menschen repräsentieren und verstehen viele Konzepte symbolisch. Das Konzept der Unendlichkeit ist ein gutes Beispiel dafür. Pi ist eine andere, zusammen mit einigen anderen bekannten irrationalen Zahlen. Es gibt viele, viele andere.

So wie es ist, können wir diese Werte und Konzepte sowohl für andere Menschen als auch für Computer leicht mit Symbolen darstellen und präsentieren. Sowohl Computer als auch Menschen können mit diesen Symbolen manipulieren und argumentieren. Beispielsweise führen Computer seit einigen Jahrzehnten mathematische Beweise durch. Ebenso stehen kommerzielle und / oder Open-Source-Programme zur Verfügung, mit denen Gleichungen symbolisch manipuliert werden können, um Probleme der realen Welt zu lösen.

Also, wie @JohnDoucette argumentiert hat, gibt es nichts Besonderes an Infinity im Vergleich zu vielen anderen Konzepten in Mathematik und Arithmetik. Wenn wir diese repräsentative Mauer treffen, definieren wir einfach ein Symbol, das "das" darstellt, und bewegen uns vorwärts.

Beachten Sie, dass das Konzept der Unendlichkeit viele praktische Anwendungen hat. Jedes Mal, wenn Sie ein Verhältnis haben und der Nenner "auf" Null geht, nähert sich der Wert des Ausdrucks "unendlich". Das ist wirklich keine Seltenheit. Während Ihre durchschnittliche Person auf der Straße mit diesen Ideen nicht vertraut ist, sind es viele Wissenschaftler, Ingenieure, Mathematiker und Programmierer. Es ist durchaus üblich, dass sich Software seit mindestens ein paar Jahrzehnten symbolisch mit Infinity befasst. ZB Mathematica: http://mathworld.wolfram.com/Infinity.html

Charlie Reitzel
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3

Eine Turingmaschine ist das mathematische Hauptmodell für die Berechnung moderner digitaler Computer. Eine Turingmaschine ist als ein Objekt definiert, das Symbole nach bestimmten Regeln (die das Programm darstellen, das die Turingmaschine ausführt) auf einem unendlichen Band bearbeitet, das in einzelne Zellen unterteilt ist. Eine Turingmaschine ist daher ein Symbolmanipulationssystem, das bei einer bestimmten Eingabe eine bestimmte Ausgabe erzeugt oder nicht anhält .

Wenn Sie davon ausgehen, dass das Verständnis der Manipulation von Symbolen entspricht , kann eine Turing-Maschine viele Konzepte verstehen, auch wenn die Schwierigkeit, jedes dieser Konzepte zu verstehen, in Bezug auf Zeit und Raum unterschiedlich ist. (Der Zweig der theoretischen Informatik (TCS), der die Schwierigkeit bestimmter Rechenprobleme untersucht, wird als Theorie der rechnerischen Komplexität bezeichnet . Der Zweig der TCS, der die Berechenbarkeit bestimmter Probleme untersucht, wird als Berechnungstheorie bezeichnet. )

Um das Konzept der Unendlichkeit zu verstehen , muss eine Turing-Maschine das Symbol Unendlichkeit in allen möglichen Fällen korrekt manipulieren. Eine Turingmaschine kann nicht alle reellen Zahlen darstellen, da die Menge der reellen Zahlen unzählbar ist. Nehmen wir an, dass die reelle Zahl ohne Verlust der Allgemeinheit ist $\mathbb{r}$ (zum Beispiel Chaitins Konstante ) kann dann nicht durch eine Turing-Maschine dargestellt (oder berechnet) werden $\mathbb{r}$ kann niemals von einer Turing-Maschine manipuliert werden. Folglich gibt es Fälle in der Mathematik, in denen eine Turingmaschine das Konzept der Unendlichkeit nicht anwenden kann. Zum Beispiel kann eine Turing-Maschine nicht verstehen $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\mathbb{r}} = \infty$ .

Dies beweist, dass eine Turingmaschine das Konzept der Unendlichkeit nicht in allen möglichen Fällen manipulieren kann, da eine Turingmaschine niemals bestimmte reelle Zahlen erfahren kann. Eine Turingmaschine kann jedoch in vielen Fällen das Konzept der Unendlichkeit manipulieren (bei denen es sich um abzählbare Mengen handelt ), sodass eine Turingmaschine das Konzept der Unendlichkeit teilweise verstehen kann, vorausgesetzt, das Verständnis entspricht der Manipulation von Symbolen.

nbro
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1

Die ersten beiden Absätze sind in Ordnung. Mit den übrigen stimme ich jedoch überhaupt nicht überein . Sicher, eine Turing-Maschine kann das Limit verstehen, das Sie schreiben, da das Limit nichts anderes ist als eine Zeichenkette, die einer induktiven (zählbaren) Grammatik folgt. Entscheidend ist, dass Sie keine Zahl berechnen müssen, um damit axiomatisch umgehen zu können. Das ist es, was Menschen die ganze Zeit tun. Menschen können nicht rechnen

r

$r$ Auch, aber sie können darüber nachdenken. Argumentation erfordert keine Berechnung.

ComFreek

@ComFreek Ich stimme Ihnen zu, dass ein TM dieses Limit manipulieren kann, ohne den genauen Wert von zu kennen

r

$\mathbb{r}$ . In der Praxis kann ein TM jedoch nicht einmal die Existenz von annehmen

r

$\mathbb{r}$ weil es nicht berechnet werden kann. Dieses Limit wird also von keinem TM erreicht, so dass kein TM jemals in der Lage sein wird, dieses Limit zu lösen. Mit anderen Worten, ein TM setzt nur die Existenz berechenbarer Zahlen voraus. Wenn also ein TM diese Grenze symbolisch manipuliert,

r

$\mathbb{r}$ wird als berechenbar vorausgesetzt.

Nr.

Sicher, ein TM kann ihm begegnen - so wie wir Menschen es getan haben. Und es kann auch diese Grenze lösen - so wie wir Menschen es getan haben. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass Sie alles, was erforderlich ist, in einen Theorembeweiser umwandeln können, um diese Grenze zu beweisen. Diese Formalisierung ist als solche eine Binärzeichenfolge und kann daher natürlich auch von einem TM gefunden werden.

ComFreek

@ComFreek Du hast meinen Punkt überhaupt nicht verstanden. Jedes TM kann nur das Vorhandensein von berechenbaren Zahlen annehmen , daher wird angenommen, dass jede symbolische Manipulation berechenbare Zahlen beinhaltet. Wenn Sie sagen, dass ein TM diese Grenze lösen kann, geben Sie nur eine Interpretation davon, weil Sie ein externer Beobachter des TM sind.

Nr.

1

Nein, ein TM kann sicherlich mit abstrakten Darstellungen argumentieren. Schauen Sie sich die Formalisierung mathematischer Theoreme in einem beliebigen Theorembeweiser (Coq, Isabelle usw.) an. Diese Theorembeweiser sind TMs, wie sie Programme sind. Dies wird sofort widerlegen, was Sie sagen wollen.

ComFreek

2

Computer verstehen weder "unendlich" noch "null", genau wie ein Schraubenzieher keine Schrauben versteht. Es ist ein Werkzeug zur Verarbeitung von Binärsignalen.

Tatsächlich ist das Äquivalent eines Computers in Bezug auf Wetware keine Person, sondern ein Gehirn. Gehirne denken nicht, Personen tun es. Das Gehirn ist nur die Plattform, mit der Personen implementiert werden. Es ist ein etwas häufiger Fehler, die beiden zu verschmelzen, da ihre Verbindung eher untrennbar ist.

Wenn Sie Verständnis zuweisen möchten, müssen Sie zumindest zu tatsächlichen Programmen anstelle von Computern wechseln. Programme können Darstellungen für Null oder Unendlich haben oder nicht und können möglicherweise auch keine geschickten Manipulationen durchführen. Die meisten symbolischen Mathematikprogramme schneiden hier meist besser ab als jemand, der im Rahmen seines Jobs mit Mathematik arbeiten muss.

quelle

2

Die Antwort von John Doucette deckt meine Gedanken ziemlich gut ab, aber ich dachte, ein konkretes Beispiel könnte interessant sein. Ich arbeite an einer symbolischen KI namens Cyc, die Konzepte als Netz logischer Prädikate darstellt. Wir geben oft an, dass Cyc die Dinge "versteht", weil es logische Beziehungen zwischen ihnen aufklären kann. Es ist zum Beispiel bekannt, dass die Leute ihre Steuern nicht gerne bezahlen, weil das Bezahlen von Steuern Geldverluste mit sich bringt, und die Leute sind dem im Allgemeinen abgeneigt. In Wirklichkeit, denke ich, stimmen die meisten Philosophen darin überein, dass dies bestenfalls ein unvollständiges "Verständnis" der Welt ist. Cyc kennt vielleicht alle Regeln, die Menschen, Steuern und Missfallen beschreiben, aber es hat keine wirkliche Erfahrung mit ihnen.

Was gibt es im Fall der Unendlichkeit noch zu verstehen? Ich würde argumentieren, dass Unendlichkeit als mathematisches Konzept keine Realität hat, die über ihre logische Beschreibung hinausgeht. Wenn Sie jede Regel, die Unendlichkeit beschreibt, richtig anwenden können, haben Sie Unendlichkeit befallen. Wenn es etwas gibt, das eine KI wie Cyc nicht darstellen kann, ist es vielleicht die emotionale Reaktion, die solche Konzepte für uns hervorrufen. Weil wir ein tatsächliches Leben führen, können wir abstrakte Konzepte wie Unendlichkeit mit konkreten wie Sterblichkeit in Beziehung setzen. Vielleicht ist es diese emotionale Kontextualisierung, die den Anschein erweckt, dass das Konzept mehr zu "verstehen" gibt.

Iago
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2

Die Fragen, die Computer niemals beantworten können - Wired (Magazin)

Computer können möglicherweise überhaupt nicht unendlich werden: < https://www.nature.com/articles/35023282 >.

Berechnung und Computer haben Auswirkungen auf "harte Grenzen von Systemen".

( https://en.wikipedia.org/wiki/Limits_of_computation )

Tautologische Enthüllungen
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1

Ich würde denken, dass ein Computer die Unendlichkeit in erster Linie nicht verstehen kann, weil die Systeme und Teile eines Systems, die den Computer antreiben, endlich sind.

Lockheed Silverman
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1

Das "Konzept" der Unendlichkeit ist eine Sache, die man verstehen sollte. Ich kann es mit 1 Symbol (∞) darstellen.

Wie ich bereits erwähnt habe, verstehen Menschen die Unendlichkeit, weil sie im Prinzip zumindest unendliche ganze Zahlen zählen können.

Unter dieser Definition versteht der Mensch keine Unendlichkeit. Menschen sind nicht in der Lage, unendliche ganze Zahlen zu zählen. Sie werden irgendwann sterben (keine Rechenressourcen / Energie mehr). Es wäre wahrscheinlich tatsächlich einfacher, einen Computer dazu zu bringen, bis ins Unendliche zu zählen, als einen Menschen dazu zu bringen, dies zu tun.

Tempo
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Natürlich verstehen wir Unendlichkeit nicht, weil wir in der Praxis auf Unendlichkeit zählen können. Wären wir theoretisch in der Lage, bei unendlichen Ressourcen bis ins Unendliche zu zählen? Außerdem natürlich das Symbol

\infty

$\infty$ ist nur ein Symbol, das in der Mathematik eine Bedeutung hat, aber diese Bedeutung hätte einem anderen Symbol gegeben werden können, oder mit anderen Worten, wir hätten den Begriff der Unendlichkeit durch ein anderes Symbol bezeichnen können. Daher sind Ihre Argumente meiner Meinung nach ziemlich überflüssig.

Nr.

Bei unendlichen Ressourcen könnten sowohl Menschen als auch Computer bis unendlich zählen. Das Symbol ∞ ist ein Platzhalter für das "Konzept" der Unendlichkeit. Die meisten Menschen wissen sehr wenig über dieses Konzept. Sie wissen, dass es größer ist als jede andere Zahl. Sie haben keine Regeln für die Multiplikation oder Addition des Konzepts, aber sie "fühlen", dass 2 * ∞ größer als 1 * ∞ ist usw. Einige Mathematiker haben unterschiedliche Definitionen des Konzepts oder sogar mehrere Konzepte der Unendlichkeit, abhängig vom Kontext von das Feld.

Pace

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Nur zum Nachdenken: Wie wäre es, wenn wir versuchen, die Unendlichkeit nicht theoretisch, sondern praktisch zu programmieren? Wenn wir also etwas für unberechenbar halten, was ein Computer angesichts seiner Ressourcen als unendlich betrachtet, würde er den Zweck erfüllen. Programmatisch kann es wie folgt implementiert werden: Wenn die Eingabe weniger als der verfügbare Speicher ist, ist sie nicht unendlich. Anschließend kann Unendlich als etwas definiert werden, das bei einem Auswertungsversuch einen Speicherfehler zurückgibt.

postoronnim
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Es ist fraglich, ob wir Menschen die Unendlichkeit verstehen. Wir erstellen nur ein neues Konzept, um alte Mathematik zu ersetzen, wenn wir dieses Problem lösen. In Division durch unendlich Maschine kann es so verstehen, wie wir:

double* xd = new double;
*xd =...;
if (*xd/y<0.00...1){
int* xi = new int;
*xi = (double) (*xd);
delete xd;

Wenn der Mensch an Unendlichkeit denkt - stellt er sich nur eine riesige Zahl in seinem aktuellen Kontext vor. Der Schlüssel zum Schreiben eines Algorithmus liegt also darin, eine Skala zu finden, mit der die KI gerade arbeitet. Und BTW dieses Problem muss vor Jahren gelöst worden sein. Leute, die float / double entwerfen, müssen sich bewusst sein, was sie tun. Das Verschieben des Exponentenzeichens ist eine lineare Operation im Doppelten.

Gen0me
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Nun, um nur die Frage der Menschen und der Unendlichkeit anzusprechen: Mein Vater ist seit 60 Jahren Mathematiker. Während dieser ganzen Zeit war er ein Geek, der es vorzieht, über sein Thema zu reden und darüber nachzudenken. Er liebt die Unendlichkeit und hat es mir von klein auf beigebracht. Ich wurde zum ersten Mal in der 5. Klasse mit dem Kalkül vertraut gemacht (nicht, dass es einen großen Eindruck hinterlassen hätte). Er liebt es zu unterrichten und im Handumdrehen wird er einen Vortrag über jede Art von Mathematik halten. Einfach fragen.

Tatsächlich würde ich sagen, dass es wenige Dinge gibt, die er besser kennt als die Unendlichkeit ... vielleicht das Gesicht meiner Mutter? Ich würde mich nicht darauf verlassen. Wenn ein Mensch etwas verstehen kann, versteht mein Vater die Unendlichkeit.

NessBird
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Der Mensch versteht die Unendlichkeit nicht. Gegenwärtig können Computer Dinge nicht verstehen, die Menschen nicht verstehen können, weil Computer von Menschen programmiert werden. In einer dystopischen Zukunft ist dies möglicherweise nicht der Fall.

Hier einige Gedanken zur Unendlichkeit. Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Es wurde auch bewiesen, dass die Menge der Primzahlen, die eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, ebenfalls unendlich ist. Wir haben also eine unendliche Menge innerhalb einer unendlichen Menge. Es wird schlimmer, zwischen 2 reellen Zahlen gibt es unendlich viele reelle Zahlen. Schauen Sie sich den Link zu Hilberts Paradox des Grand Hotels an, um zu sehen, wie verwirrend die Unendlichkeit werden kann - https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_paradox_of_the_Grand_Hotel

Paul McCarthy
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Ich denke, die Eigenschaft, die Menschen haben, die Computer nicht haben, ist eine Art paralleler Prozess, der neben allem, was sie denken, abläuft und versucht, allem, was Sie tun, eine Wichtigkeitsbewertung zuzuweisen. Wenn Sie einen Computer bitten, das Programm auszuführen: A = 1; TUN BIS (A <0) a = a + 1; ENDE;

Der Computer wird. Wenn Sie einen Menschen fragen, wirft ein anderer Prozess die Frage auf: "Ich bin jetzt gelangweilt ... das dauert ewig ... Ich beginne einen neuen parallelen Prozess, um das Problem zu untersuchen, das Projekt, in dem die Antwort liegt, und suchen Sie nach einem schnellerer Weg zur Antwort ... Dann stellen wir fest, dass wir in einer Endlosschleife stecken, die niemals "gelöst" werden wird ... und unterbrechen sie mit einem Interrupt, der das Problem kennzeichnet, den langweiligen Prozess beendet und eine Tasse Tee holt :-) Sorry wenn das nicht hilfreich ist.

Andy Evans
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Die Frage ist nicht "Kann KI Unendlichkeit verstehen", sondern "Inwiefern ist Unendlichkeit für eine KI nützlich? Wie stellen wir sie für diesen Zweck dar?" - Als Mensch haben Sie eine große Anzahl von "Subsumtionsprozessen", die an Ihr Überleben in Ihrer Umgebung gebunden sind. Eines dieser Systeme verwaltet Ihre Ressourcen und meldet sich, wenn ein Unternehmen hohe oder hohe Anforderungen stellt (möglicherweise ins Unendliche tendierend), sodass Sie an ein echtes Konzept gebunden sind, was Unendlichkeit für Sie bedeuten könnte. Was muss es für AI bedeuten? Zeitressource? Anzahl der zugewiesenen Knoten? Wie wichtig / genau ist die Antwort?

Andy Evans

Können digitale Computer die Unendlichkeit verstehen?

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