Warum gibt Spotlight einen falschen Wert für "cos (pi / 2)" an?

Wie Sie vielleicht wissen, kann Spotlight einfache Mathematik ausführen. Wenn Sie beispielsweise tippen, cos(pi)führt dies -1erwartungsgemäß dazu. Ich habe gerade eingegeben cos(pi/2), was 0 sein sollte, aber es gab mir -5e-12.

Ja, es liegt wahrscheinlich an einem Rundungsfehler, aber komm schon : cos(pi/2)! Meiner Meinung nach sieht das eindeutig nach einem Fehler aus. Was denken Sie?

Dies liegt an der mangelnden Präzision von pi und an der insgesamt fehlenden Präzision des eingebauten Systems.

pi = 3.1415926536

pi/2 = 1.5707963268 

cos(1.5707963268) = -5.103412e-12

FYI =  5.103412e-12 = 0.000000000005103412 ~ 0 

Über die Gesamtsystemgenauigkeit:

3.141592653589793238462643383 = 3.1415926536 

In Python erhalten wir Folgendes:

>>> float("3.141592653589793238462643383")
3.141592653589793

Wie wir sehen können, gibt es ein Problem mit der Genauigkeit, da sie nicht einmal mit der Float-Darstellung übereinstimmt.

Sie speichern π nicht mit ungewöhnlicher Gleitkommapräzision. Sie verwenden einen falschen Wert für π mit doppelter Genauigkeit. Um ungefähr 3.1415926536 in Binärform zu approximieren , sind mindestens 38 Bit erforderlich:

3.14159265359922… > 11.001001000011111101101010100010001001

Beachten Sie, dass 2 ^ -36 ungefähr 1,5e-11 ist, was mit dem nachfolgenden 99 übereinstimmt. Gleitkomma mit doppelter Genauigkeit hat eine 52-Bit-Bedeutung. Um cos(pi/2)als -5e-12 zu bewerten , wäre die einzig mögliche Wahl ein 48-Bit-Typ, was sehr seltsam wäre.

In der Nähe von 0 und π, wo die Ableitung nahezu Null ist, kann cos (θ) nicht sehr genau berechnet werden:

cos(3.1415926536) ≈ -0.999999999999999999999947911

Das unterscheidet sich von -1 um ungefähr 5.2e-23, was kleiner als ε für ist double, und wird daher cos(3.1415926536)als genau -1 berechnet ... was falsch ist.

In der Nähe von ± π / 2 beträgt die Ableitung [ -sin (θ) ] nahezu ± 1, sodass der Fehler am Eingang zum Ausgang wird.

cos(1.57079632679961) ≈ -4.71338076867830836e-12
cos(1.57079632679962) ≈ -4.72338076867830836e-12
cos(1.57079632680000) ≈ -5.10338076867830836e-12

Ich habe zufällig einen TI-Rechner, der eine Ziffer weniger anzeigt und cos(π/2)als -5.2e-12 berechnet . Es ist jedoch elektronisch sehr unterschiedlich und wurde entwickelt, um einen genauen Wert für anzugeben cos(90°).

Ich würde vermuten, dass in Spotlight cos(pi/2)berechnet wird, indem ein Wert für π abgerufen, in eine Dezimalzeichenfolge konvertiert , dieser als (exakter, rationaler) Binärwert gespeichert wird der wahre Wert von π / 2. Sie sollten herausfinden, ob cos(pi/2 + cos(pi/2))es näher an Null liegt (es könnte -2,2e-35 sein).

Die Multiplikation mit einer Zweierpotenz sollte nur den Exponenten beeinflussen, nicht den Signifikanten. Es kann möglich sein, durch wiederholtes Halbieren oder Verdoppeln zu bestimmen, wie gerundet wird.

Es ist ein Fehler, der unter 10.9.2 reproduzierbar ist - und ein solcher Gleitkomma-Rundungsfehler ist ziemlich typisch.

Es ist der Wert von pi, der ohne ausreichende Präzision behandelt wird, wenn ich raten musste.

• cos (999999 * pi) hat keinen Fehler
• cos ((999999 + 1) * pi) weist eine fehlerhafte Rundung auf

Ich würde zu https://developer.apple.com/bug-reporting/ gehen, wenn Sie Apples Fehlerbehebungsgerät in Aktion sehen möchten.

Aus den anderen Antworten und Kommentaren wird Folgendes deutlich:

Die Tatsache, dass Sie ein Ergebnis ungleich Null erhalten, ist KEIN Fehler, selbst bei einer perfekten Implementierung der Software würden Sie an die Grenzen von Gleitkommaberechnungen stoßen. Der Fehler in der Größenordnung von 10 ^ -12 ist jedoch sehr groß.

Dies ist NICHT auf die Ungenauigkeit von Gleitkommazahlen zurückzuführen. Das Ergebnis ist genau das:

cos(1.5707963268)

Dies kann mit jedem alternativen Softwarepaket überprüft werden. Wenn Sie cos(pi/2)in einem dieser Pakete bewerten, erhalten Sie definitiv ein Ergebnis, das viel näher an Null als 10 ^ -12 liegt.

Abschließend sehe ich zwei mögliche Einschränkungen, von denen eine gelten muss:

1. Pi wird nicht mit ausreichender Genauigkeit gespeichert, oder zumindest pi / 2 führt zu einer unzureichenden Genauigkeit
2. Cos nimmt einfach unzureichende Präzision als Eingabe

Vielleicht kann jemand mit Zugriff auf die Software überprüfen, welche davon zutrifft.

Update Wie im Kommentar erwähnt, scheint das Problem die Genauigkeit der Konstante zu sein pi.

Dass unter Berücksichtigung -5e-12wird eine verryyyy kleine Zahl, dies ist ein Rundungsfehler.

Ich denke, es ist die Folge davon, dass das Scheinwerferlicht mehr Dezimalstellen anzeigt, als bei der Definition der piKonstanten oder der unendlichen Reihen verwendet werden, die zur Berechnung der Triggerfunktionen verwendet werden.