Warum sind Bahnen elliptisch statt kreisförmig?

Warum drehen sich Planeten auf einer bestimmten elliptischen Umlaufbahn um einen Stern, wobei sich der Stern in einem seiner Schwerpunkte befindet? Warum ist die Umlaufbahn kein Kreis?

Angenommen, der Planet hat im Vergleich zum Stern eine vernachlässigbare Masse, beide sind sphärisch symmetrisch (so gilt das Newtonsche Gravitationsgesetz, aber dies geschieht normalerweise ohnehin in sehr guter Näherung) und es gibt keine Kräfte außer der Schwerkraft zwischen ihnen . Wenn die erste Bedingung nicht zutrifft, wird die Beschleunigung jedes einzelnen zum Schwerpunkt des Systems hin verlaufen, als würde der Schwerpunkt eine Schwerkraft mit einer bestimmten reduzierten Masse anziehen, sodass das Problem mathematisch äquivalent ist.

Nimm den Stern, um am Ursprung zu sein. Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ist die Kraft , wobei der Vektor zum Planeten ist, dessen Masse und ist der Standard-Gravitationsparameter des Sterns.rmμ=G$\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$$\mathbf{r}$$m$$\mu = GM$

Naturschutzgesetze

Da die Kraft rein radial ist , bleibt der Drehimpuls erhalten: Wenn die Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null ist und sich der Stern am Ursprung befindet Dann muss die Umlaufbahn in Bezug auf die Anfangsposition und -geschwindigkeit auf die Ebene aller Punkte mit Vektoren vom Ursprung beschränkt werden, die erfüllenL = r × p ˙ L = $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$xL≤x=

$$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$$ $\mathbf{x}$$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit Null ist, ist die Bewegung rein radial, und wir können eine von unendlich vielen Ebenen nehmen, die den Schwerpunkt und die Anfangsposition enthalten.

Die Gesamtenergie der Umlaufbahn ist gegeben durch wobei der erste Termteil die kinetische Energie und der Der zweite Term ist die potentielle Gravitationsenergie des Planeten. Seine Erhaltung sowie die Tatsache, dass es die richtige potentielle Energie aufruft, kann durch den Grundsatz der Analysis für Linienintegrale bewiesen werden.

$$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$$

Definieren Sie den Laplace-Runge-Lenz-Vektor als Es wird auch beibehalten:

$$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$$ $$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$$

Schließlich nehmen wir auch , das die gleichen Einheiten wie , und seit , liegt in der Umlaufbahn. Da es sich um einen konservierten Vektor handelt, der durch einen konservierten Skalar skaliert wird, ist es einfach zu zeigen, dass auch konserviert ist, solange .$\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$$\mathbf{r}$$\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$$\mathbf{f}$$\mathcal{E}\neq 0$

Vereinfachung

Mit dem Vektor-Tripelprodukt können wir schreiben dessen leicht zu ist auskurbeln: wobei verwendet wurde, um zwischen kinetischen und potenziellen Begriffen zu wechseln.

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$$ $$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$$ $\mathcal{E}$

Warum Ellipsen?

Da im Verhältnis zur Unendlichkeit Energie ist, benötigen wir , um eine begrenzte Umlaufbahn zu haben . Aus dem vorhergehenden Abschnitt und daher definiert eine Ellipse mit den Schwerpunkten und der Hauptachse .$\mathcal{E}$$\mathcal{E}<0$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$$ $\mathbf{0},\,\mathbf{f}$$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

Warum keine Kreise?

Der Kreis ist ein Sonderfall, bei dem die Brennpunkte der gleiche Punkt sind, , der als Mit anderen Worten, Kreisbahnen erfordern, dass die Umlaufbahnenergie die negative der kinetischen Energie ist. Dies ist möglich, aber fast sicher nicht genau zu halten. Da alle Werte von für gebundene Umlaufbahnen zulässig sind, gibt es viel mehr Möglichkeiten, elliptische Umlaufbahnen zu haben. (Obwohl einige von ihnen tatsächlich abstürzen würden, weil der Stern und der Planet eine positive Größe haben.)$\mathbf{f} = \mathbf{0}$

$$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$$ $\mathcal{E}<0$

Beachten Sie, dass hyperbolische Bahnen , und wir können die Herde immer noch mit der obigen Methode finden, obwohl wir mit den Zeichen vorsichtig sind. Für ist der zweite Fokus undefiniert, da dies eine parabolische Umlaufbahn ist und Parabeln nur einen Fokus innerhalb einer endlichen Entfernung vom Zentrum haben.E = 0 $\mathcal{E}>0$$\mathcal{E}=0$$\mathbf{f}$

Zusätzlich ist der Exzentrizitätsvektor eine alternative Wahl für den LRL-Vektor; Wie der Name schon sagt, ist seine Größe die Exzentrizität der Umlaufbahn.$\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

Es ist möglich, dass ein Planet eine kreisförmige Umlaufbahn hat, ein Kreis ist schließlich eine Ellipse, bei der sich beide Schwerpunkte an derselben Stelle befinden. Dies ist als eine Exzentrizität von 0 bekannt . Die Exzentrizität wird folgendermaßen definiert: wobei die Apoapsis ist (der am weitesten entfernte Punkt in der Umlaufbahn von Schwerpunkt), und ist die Periapsis (der nächste Abstand). Um hier eine gewisse Intuition aufzubauen: Wenn die Apoapsis doppelt so groß ist wie die Periapsis, beträgt die Exzentrizität . rarpe=

$$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$$ $r_{a}$$r_{p}$$e=0.333$

Von allen Planeten des Sonnensystems hat die Venus mit einer Exzentrizität von 0,007 die kreisförmigste Umlaufbahn.

Warum nicht alle Bahnen rund sind, hängt von der kinetischen Energie ab . Die kinetische Energie ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. In der Umlaufbahnebene und in Polarkoordinaten um den Stern können wir dies in eine Kombination aus Radialgeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit zerlegen : Da Kreise konstante Radien haben, muss die Radialgeschwindigkeit des Planeten genau Null sein, damit die Umlaufbahn um den Stern kreisförmig ist. Außerdem muss die Winkelgeschwindigkeit so gewählt werden, dass die Zentrifugalkraft im Drehrahmen genau die Schwerkraft ausgleicht - ein bisschen mehr oder ein bisschen weniger, die Unwucht verändert die Radialgeschwindigkeit und verdirbt den Kreis.˙ ϕ v2= ˙ r 2+r2 ˙ ϕ 2$\dot{r}$$\dot{\phi}$

$$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$$

Angesichts der Tatsache, dass die Geschwindigkeiten aus einer Vielzahl von Gründen variieren, ist es kein Wunder, dass nur wenige Umlaufbahnen kreisförmig sind. Angesichts der Tatsache, dass sich die tatsächlichen Umlaufbahnen mit der Zeit ändern , wissen wir, dass sie nicht lange so bleiben können.

Wenn Sie nach einem mathematischen Beweis suchen, können Sie über diesen Link einige Details dazu erfahren .

Hier ist ein Bild Exzentrizität einiger Körper im Sonnensystem von extrahierte hier :

Ich bevorzuge immer Antworten, bei denen versucht wird, Formeln zu vermeiden und stattdessen auf Argumentation zu antworten. In Bezug auf den Teil der Frage, warum nicht alle Umlaufbahnen kreisförmig sind, wäre eine Argumentation wie folgt:

Stellen Sie sich einen stationären Stern und einen sich bewegenden Planeten vor. Für jeden Impuls, den der Planet haben kann, kann eine Kurve für seine weitere Bewegung vorhergesagt werden. Wenn dieser Impuls genau orthogonal zur Linie vom Stern zum Planeten gerichtet ist und die Geschwindigkeit den exakten Betrag hat , kann diese Bewegungskurve ein exakter Kreis sein.

Aber für jede Abweichung von diesem einen exakten Impuls kann die resultierende Kurve kein Kreis sein:

• Wenn die Geschwindigkeit zu niedrig ist, wird der Planet fällt auf den Stern (im Extremfall eines Impulses von Null, in diesem Herbst in einer geraden Linie sein wird).
• Wenn die Geschwindigkeit zu hoch ist, entfernt sich der Planet vom Stern (ähnlich einer Schleuder).
• Wenn der Impuls nicht direkt orthogonal zur Linie zum Stern ist, bewegt sich die erste Bewegung zum oder vom Stern, sodass die Kurve wiederum kein Kreis ist.

Man kann also einfach argumentieren, ein Kreis ist ein ganz besonderer Fall für die Kurve, die ein Planet um einen Stern nehmen kann.