Wir möchten ein Semiprime faktorisieren . Das Ziel dieser Herausforderung ist es, zwei kleine ganze Zahlen und so dass mit der Methode von Fermat trivial faktorisiert werden kann, wodurch die Faktoren von leicht abgeleitet werden können . $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

Die Aufgabe

Ausgehend von einem Halbwert $N$ und einer positiven ganzen Zahl $k$ definieren wir $x$ und $y$ als:

x = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = x^{2} - k N

$y=x^2-kN$

Schritt # 1 - Finden Sie $k$

Sie müssen zuerst den kleinstmöglichen Wert von $k$ , sodass $y$ eine quadratische Zahl ist (auch als perfektes Quadrat bezeichnet).

Dies ermöglicht die Faktorisierung von mit einer einzigen Iteration der Fermat-Faktorisierungsmethode . Konkret führt dies sofort zu: $kN$

k N = (x + \sqrt{y}) \times (x - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(Update: Diese Sequenz ist jetzt als A316780 veröffentlicht )

Schritt # 2 - Faktorisiere $k$

Sie müssen dann die beiden positiven ganzen Zahlen und so finden, dass: $u$ $v$

u v = k

$uv=k$

c u = x + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = x - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

wobei und die Primfaktoren von . $c$ $d$ $N$

Zusammenfassung

Ihre Aufgabe ist es, ein Programm oder eine Funktion zu schreiben, die als Eingabe verwendet und und in beliebiger Reihenfolge und in einem angemessenen Format ausgibt oder ausgibt . $N$ $u$ $v$

Beispiel

Betrachten wir $N = 199163$

Schritt 1

Der kleinstmögliche Wert von ist , was ergibt: $k$ $40$

x = ⌈ (\sqrt{40 \times 199163}) ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

Schritt 2

Die korrekte Faktorisierung von ist , weil: $k$ $k = 4 \times 10$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N = (719 \times 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

Die richtige Antwort wäre also entweder oder . $[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

Regeln

Es ist nicht erforderlich, die beiden oben beschriebenen Schritte strikt anzuwenden. Es steht Ihnen frei, eine andere Methode zu verwenden, solange die korrekten Werte für und . $u$ $v$
Sie müssen alle Werte von bis zur nativen Maximalgröße einer vorzeichenlosen Ganzzahl in Ihrer Sprache unterstützen. $uvN$
Der Eingang ist garantiert ein Halbbild.
Das ist Code-Golf, also gewinnt die kürzeste Antwort in Bytes.
Standardlücken sind verboten.

Testfälle

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

Beispielimplementierung

$f$ $N$ $u$ $v$

$g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

Code-Snippet anzeigen

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

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code-golf number-theory primes Arnauld
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Sind wir Nsicher, dass der Input tatsächlich ein Semiprime sein wird?

Greg Martin

@ GregMartin Ja, das bist du.

Arnauld

8

Mathematica, 81 79 Bytes

Vielen Dank an Martin Ender für das Speichern von 2 Bytes!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

Reine Funktion, die ein Semiprime als Eingabe verwendet und ein geordnetes Paar positiver Ganzzahlen zurückgibt. Die ForSchleife implementiert die genaue Prozedur, die in der Frage (unter Verwendung #für die Eingabe anstelle von n) beschrieben ist, mit xder dort definierten, obwohl wir j = k*nanstelle von sich kselbst und z=Sqrt[y]anstelle von sich yselbst speichern . Wir berechnen auch p={x+z,x-z}innerhalb der ForSchleife, wodurch am Ende ein Byte gespart wird (wie beim siebten Versuch). Dann sind die beiden gewünschten Faktoren (x+z)/GCD[#,x+z]und (x-z)/GCD[#,x-z], die der prägnante Ausdruck p/#~GCD~pdirekt als geordnetes Paar berechnet.

Kurioses: Wir wollen eine Schleife machen, bis zeine ganze Zahl ist. Da wir aber Ceilingbereits im Code verwenden werden, werden zwei Bytes gespart, um !IntegerQ@zzu definieren c=Ceiling(was, wie Mathematica-Golfer wissen, vier Bytes kostet) und dann zu testen, ob c@z>z. Wir müssen zetwas initialisieren , und dieses etwas sollte besser keine ganze Zahl sein, damit die Schleife beginnen kann; Zum Glück Eist eine prägnante Wahl.

Greg Martin
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4

JavaScript (ES7), 86 81 Bytes

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

Bearbeiten: 4 Bytes dank @Arnauld gespeichert.

Neil
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4

Python 2, 127 121 117 111 107 104 101 99 Byte

-1 Byte dank Neil & -3 Byte dank Ovs

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

Probieren Sie es online!

Kuriositäten:

pwird so initialisiert, .5dass die Schleifenbedingung bei der ersten Iteration wahr ist. Beachten Sie, dass das Speichern p(als x+ sqrt(y)) kürzer ist als das Speichern der einzelnen xund ygetrennt.

Mathe-Junkie
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x*xstatt x**2?

Neil

@ Neil Ja, natürlich. Vielen Dank

Math Junkie

1

Axiom, 131 115 Bytes

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

Die Funktion, die die Frage lösen würde, ist r (n) oben. ungolf und test

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

RosLuP
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Fermats Faktorisierungshelfer