Herausforderung

Stellen wir uns ein NTupel von ganzen Zahlen zwischen 0 und Meinschließlich vor und nennen wir es F.

Insgesamt sind s (M + 1) ** Nmöglich F.

Wie viele solcher Fs erfüllen alle folgenden Ungleichungen (Index ist einsbasiert)?

• F[n] + F[n+1] <= M zum 1 <= n < N
• F[N] + F[1] <= M

Schreiben Sie ein Programm oder eine Funktion, die zwei positive ganze Zahlen akzeptiert N und Mdie Antwort in einer beliebigen Form ausgibt.

Testfälle

(N,M) => Answer

(1,1) => 1
(2,1) => 3
(3,1) => 4
(4,1) => 7

(1,2) => 2
(2,2) => 6
(3,2) => 11
(4,2) => 26

(10,3) => 39175
(10,4) => 286555
(10,5) => 1508401

(25,3) => 303734663372
(25,4) => 43953707972058
(25,5) => 2794276977562073

(100,3) => 8510938110502117856062697655362747468175263710
(100,4) => 3732347514675901732382391725971022481763004479674972370
(100,5) => 60964611448369808046336702581873778457326750953325742021695001

Erläuterung

M (max value of element) = 1

F[1] + F[1] <= 1; F = [0]
(1,1) => 1

F[1] + F[2] <= 1; F = [0,0], [0,1], [1,0]
(2,1) => 3

F = [0,0,0], [0,0,1], [0,1,0], [1,0,0]
(3,1) => 4

F = [0,0,0,0], [0,0,0,1], [0,0,1,0], [0,1,0,0], [0,1,0,1], [1,0,0,0], [1,0,1,0]
(4,1) => 7

---

M = 2

F[1] + F[1] <= 2; F = [0], [1]
(1,2) => 2

F = [0,0], [0,1], [0,2], [1,0], [1,1], [2,0]
(2,2) => 6

F = [0,0,0], [0,0,1], [0,0,2], [0,1,0], [0,1,1], [0,2,0], [1,0,0], [1,0,1],
[1,1,0], [1,1,1], [2,0,0]
(3,2) => 11

(4,2) => 26 (left as exercise for you)

Regeln

• Dies ist eine Herausforderung mit eingeschränkter Komplexität . Die zeitliche Komplexität Ihres Codes sollte in Mund polynomisch seinN (z. B. können Sie nicht alle (M + 1) ** NTupel generieren und dann nach der Bedingung suchen). Bitte erläutern Sie Ihren Ansatz in Ihrer Einreichung.
• Es gelten die Standardregeln für Code-Golf . Die kürzeste Antwort in Bytes gewinnt.

Python mit Numpy , 59 Bytes

lambda M,N:trace(mat(tri(M+1)[::-1])**N)
from numpy import*

Probieren Sie es online aus!

Verwendet die Matrixmultiplikation, um Pfade zu zählen. Wenn die Float-Genauigkeit ein Problem darstellt, kann matdies angegeben werden mat(...,int).

Pyth , 27 Bytes

.N?Ys:RTtYh-QNgQ+NTs:Rdtszh

Demonstration

Erwartet Eingaben im Format:

M
N

Dies ist eine klassische dynamische Programmierung über dem linken Ende der bisher festgelegten Werte, dem rechten Ende und der aktuellen Größe der Lücke.

Wie es funktioniert, in Pseudocode / Python:

.N          | define memoized fill(left, right, gap):
?           | if cap > 0 then
s:RTtY      | sum(fill(i, right, gap - 1)
h-QN        |     for i in range(M - left + 1))
gQ+NT       | else M >= left + right
            | output:
s:Rdtsz     | sum(fill(i, i, N - 1)
h           |     for i in range(M + 1))

Qwird verwendet für M, zwird verwendet für N, :ist fill, Nist left, Tist right, Yist gap.

MATL , 13 12 Bytes

Q:&>~PiY^Xds

Probieren Sie es online aus! Dies ist eine direkte Übersetzung der Python-Antwort von xnor und meiner ersten MATL-Antwort, daher ist sie höchstwahrscheinlich nicht optimal. ZB gibt es wahrscheinlich einen kürzeren Weg, um eine dreieckige Matrix von oben links zu erhalten als t&lYRP. Edit: Und es stellt sich heraus, dass es nämlich gibt :&>~P. Vielen Dank an Luis Mendo für -1 Byte!

               M is the first input and N the second
Q:             increment M and generate range from 1 to M+1
  &>           compare vector element wise with itself with greater-than function
               results in a upper-right triangular matrix
    ~          inverse to get lower-left triangular matrix
     P         flip rows to get upper-left triangular matrix
      i        input N
       Y^      take the matrix to the power of N
         Xds   compute the sum of the main diagonal

Stax , 17 Bytes

°(√&╒íƽ╨⌂'├╖▼1_Z

Führen Sie es aus und debuggen Sie es

Ausgepackt, ungolfed und kommentiert sieht es so aus.

^1](    [1, 0, ... 0] with M zeroes
:)      get all rotations of the array
{       begin block
  {:+rm map each array to reverse(prefixSums(arr))
},v*    execute preceding block N-1 times
F       for each array, execute the rest of the program
  iT    remove the last i elements from the array, where i is the iteration index
  F+    add the remaining elements to the running total
        implicitly print output

Führen Sie diesen aus

R , 72 Bytes

function(M,N)sum(diag(Reduce(`%*%`,rep(list(outer(0:M,0:M,"+")<=M),N))))

Probieren Sie es online aus!

Ports xnors Ansatz.

Schlägt für größere Testfälle fehl, da R nur 32-Bit-Integer-Unterstützung bietet (sie werden umgewandelt, doublesobald der maximale int-Wert erreicht ist), sodass die Verwendung einer gmpanderen Arithmetikbibliothek mit beliebiger Genauigkeit erforderlich wäre.

Seltsamerweise fehlt R ein ^Matrixleistungsoperator , wie immer elementweise.