Einleitung (kann ignoriert werden)

Es ist ein bisschen langweilig, alle positiven ganzen Zahlen in die reguläre Reihenfolge (1, 2, 3, ...) zu bringen, nicht wahr? Hier ist also eine Reihe von Herausforderungen im Zusammenhang mit Permutationen (Umformungen) aller positiven ganzen Zahlen. Dies ist die sechste Herausforderung in dieser Reihe (Links zur ersten , zweiten , dritten , vierten und fünften Herausforderung).

Diese Herausforderung hat ein mildes Osterthema (weil es Ostern ist). Ich habe mich von diesem hoch dekorierten (und meiner persönlichen Meinung nach eher hässlichen) Gänseei inspirieren lassen.

Es erinnerte mich an die Ulam-Spirale , bei der alle positiven ganzen Zahlen in einer Spirale gegen den Uhrzeigersinn angeordnet sind. Diese Spirale hat einige interessante Merkmale im Zusammenhang mit Primzahlen, aber das ist für diese Herausforderung nicht relevant.

Wir kommen zur Permutation dieser Herausforderung von positiven ganzen Zahlen, wenn wir die Zahlen in der Ulam-Spirale nehmen und alle ganzen Zahlen in einer im Uhrzeigersinn drehenden Spirale ab 1 verfolgen. Auf diese Weise erhalten wir:

1, 6, 5, 4, 3, 2, 9, 8, 7, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 25, 24, 23, etc.

Wenn Sie beide Spiralen zeichnen würden, würden Sie eine Art unendliches Netz von (Eierschalen-) Spiralen erhalten ( beachten Sie die New Order- Referenz dort ).

Diese Sequenz ist im OEIS unter der Nummer A090861 vorhanden . Da dies eine „reine Sequenz“ Herausforderung ist, die Aufgabe zu Ausgang ist $a(n)$ für eine gegebene $n$ als Eingabe, wobei $a(n)$ ist A090861 .

Aufgabe

Bei einem gegebenen ganzzahligen Eingangs $n$ , Ausgabe $a(n)$ im Ganzzahlformat, wobei $a(n)$ ist A090861 .

Hinweis: Hier wird eine 1-basierte Indizierung angenommen. Sie können eine 0-basierte Indizierung verwenden, also $a(0) = 1; a(1) = 6$ usw. Bitte erwähnen Sie dies in Ihrer Antwort, wenn Sie dies verwenden möchten.

Testfälle

Input | Output
---------------
1     |  1
5     |  3
20    |  10
50    |  72
78    |  76
123   |  155
1234  |  1324
3000  |  2996
9999  |  9903
29890 |  29796

Regeln

• Eingabe und Ausgabe sind Ganzzahlen.
• Ihr Programm sollte mindestens Eingaben im Bereich von 1 bis 32767 unterstützen.
• Ungültige Eingaben (0, Gleitkommazahlen, Zeichenfolgen, negative Werte usw.) können zu unvorhergesehenen Ausgaben, Fehlern oder (un) definiertem Verhalten führen.
• Es gelten die Standard- E / A-Regeln .
• Standardlücken sind verboten.
• Das ist Code-Golf , also gewinnt die kürzeste Antwort in Bytes

Jelly ,  16 14 11 10 9  8 Bytes

-1 dank Lynn (mod-2; logische NICHT; add to self: Ḃ¬+-> bitweise OR mit 1: |1)

|1×r)ẎQi

Ein monadischer Link, der eine Ganzzahl akzeptiert n, die eine Ganzzahl ergibt a(n).

$\lceil\frac n2\rceil$

½‘|1×rƲ€ẎQi$\lceil\frac{\lfloor\sqrt n\rfloor+1}2\rceil$

Wie?

Die Permutation besteht darin, die natürlichen Zahlen in umgekehrten Längenschnitten zu nehmen [1,5,3,11,5,17,7,23,9,29,11,35,13,...]- die ungeraden positiven ganzen Zahlen, durchsetzt mit den positiven ganzen Zahlen, die zu fünf Modulo Sechs kongruent sind, dh [1, 2*3-1, 3, 4*3-1, 5, 6*3-1, 7, 8*3-1, 9, ...].

Dies ist dasselbe wie das Verketten und anschließende Deduplizieren umgekehrter Bereiche [1..x]von wo xist die kumulative Summe dieser Schnittlängen (dh das Maximum jedes Schnitts) - [1,6,9,20,25,42,49,72,81,110,121,156,169,...]das sind die ungeraden Ganzzahlen im Quadrat durchsetzt mit geraden Zahlen multipliziert mit sich selbst inkrementiert, dh [1*1, 2*3, 3*3, 4*5, 5*5, 6*7, 7*7,...].

Da die Differenzen alle größer als 1 sind, können wir ein Byte (die Umkehrung) speichern, indem wir Bereiche [x..k]direkt aufbauen . Dabei khandelt es sich um den 1-indexierten Index des Slices.

$P(n) = v \iff P(v) = n$n|1×r)ẎQị@n|1×r)ẎQi

|1×r)ẎQi - Link: integer, n       e.g. 10
    )    - for each k in [1..n]:  vs = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10]
|1       -   bitwise-OR (k) with 1     [ 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,11]
  ×      -   multiply (by k)           [ 1, 6, 9,20,25,42,49,72,81,110]
   r     -   inclusive range (to k)    [[1],[6..2],[9..3],[20..4],...,[110..10]]
     Ẏ   - tighten                     [1,6,5,4,3,2,9,8,7,6,5,4,3,20,...,4,......,110,...,10]
      Q  - de-duplicate                [1,6,5,4,3,2,9,8,7,20,...,10,......,110,...82]
       i - first index with value (n)  20

JavaScript (ES7),  46 45  41 Byte

0-indiziert.

n=>((x=n**.5+1&~1)*2-(n<x*x+x)*4+3)*x+1-n

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Wie?

Dies basiert auf der 1-indizierten Formel, die in den Beispielprogrammen von A090861 verwendet wird .

$x_n$$0$

$$x_n=\left\lfloor\frac{\sqrt{n-1}+1}{2}\right\rfloor$$

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$k_n$$6$$-2$

$$k_n=\begin{cases} -2&\text{if }n\le 4{x_n}^2+2x_n\\ 6&\text{otherwise} \end{cases}$$

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$a_n$

$$a_n=8{x_n}^2+k_nx_n+2-n$$

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Welches kann übersetzt werden in:

n=>8*(x=(n-1)**.5+1>>1)*x+(n<=4*x*x+2*x?-2:6)*x+2-n

Wenn Sie den Index auf 0 setzen, werden sofort 5 Bytes gespart:

n=>8*(x=n**.5+1>>1)*x+(n<4*x*x+2*x?-2:6)*x+1-n

Die Formel kann weiter vereinfacht werden durch:

$${x'}_n=2\times\left\lfloor\frac{\sqrt{n}+1}{2}\right\rfloor$$

was ausgedrückt werden kann als:

x=n**.5+1&~1

führt zu:

n=>2*(x=n**.5+1&~1)*x+(n<x*x+x?-1:3)*x+1-n

und schlussendlich:

n=>((x=n**.5+1&~1)*2-(n<x*x+x)*4+3)*x+1-n

Wolfram Language (Mathematica) , 60 Byte

8(s=⌊(⌊Sqrt[#-1]⌋+1)/2⌋)^2-#+2+If[#<=4s^2+2s,-2,6]s&

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MATL , 12 11 Bytes

Eq1YL!tPG=)

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Sehr speicherineffizient. Das Vorbereiten X^kmacht es effizienter .

C # (Visual C # Interactive Compiler) , 67 Byte

n=>8*(x=(int)Math.Sqrt(--n)+1>>1)*x+(n<4*x*x+2*x?-2:6)*x+1-n;int x;

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Python 3.8, 104 74 65 60 57 Bytes

lambda n:(-2,6)[n>4*(x:=(n**.5+1)//2)*x+2*x]*x+2+~n+8*x*x

Edit: Danke an Johnathan Allan für die 74 bis 57 Bytes!

Diese Lösung verwendet eine 0-basierte Indizierung.

Python 3.8 (Vorabversion) , 53 Byte

Ein direkter Anschluss von Arnaulds JavaScript Antwort , geht upvote dass und / oder J42161217 Mathematica Antwort und / oder Kapocsi Python Antwort :)

lambda n:((x:=int(n**.5+1)&-2)*2-(n<x*x+x)*4+3)*x+1-n

0-indiziert.

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Befunge, 67 57 Bytes

Diese Lösung setzt eine 0-basierte Indizierung der Eingabewerte voraus.

p&v-*8p00:+1g00:<
0:<@.-\+1*g00+*<|`
0g6*\`!8*2+00g4^>$:0

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Erläuterung

Wir beginnen mit der Berechnung des "Radius", bei dem die Eingabe n gefunden wird, mit einer Schleife:

radius = 0
while n > 0
  radius += 1
  n -= radius*8

Am Ende der Schleife ist der vorherige Wert von n der Versatz in die Spirale bei diesem Radius:

offset = n + radius*8

Wir können dann wie folgt feststellen, ob wir uns im oberen oder unteren Bereich der Spirale befinden:

bottom = offset >= radius*6

Und wenn wir alle diese Details haben, wird der Spiralwert berechnet mit:

value = ((bottom?10:2) + 4*radius)*radius + 1 - offset

Der Radius ist der einzige Wert, den wir als "Variable" speichern müssen. Er ist in Befunge-93 auf einen Maximalwert von 127 begrenzt, sodass dieser Algorithmus Eingaben bis zu 65024 verarbeiten kann.

Japt , 15 Bytes

Port of Jonathans Jelly-Lösung. 1-indiziert.

gUòȲ+X*v)õÃcÔâ

Versuch es

gUòȲ+X*v)õÃcÔâ     :Implicit input of integer U
g                   :Index into
 Uò                 :  Range [0,U]
   È                :  Map each X
    ²               :    Square X
     +X*            :    Add X multiplied by
        v           :    1 if X is divisible by 2, 0 otherwise
         )          :    Group result
          õ         :    Range [1,result]
           Ã        :  End map
            c       :  Flatten
             Ô      :    After reversing each
              â     :  Deduplicate

C ++ (gcc) , 88 Bytes

#import<cmath>
int a(int n){int x=(sqrt(n-1)+1)/2;return x*(8*(x+(n>4*x*x+2*x))-2)+2-n;}

1-indiziert; Verwendet die Formel auf der OEIS-Seite, wurde jedoch manipuliert, um einige Bytes zu sparen.

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