Geben Sie bei einer natürlichen Zahl $n$ die $n$ te kubanische Primzahl zurück .

Kubanische Primzahlen

Eine kubanische Primzahl ist eine Primzahl der Form

wobei $y>0$ und $x = 1+y$ oder $x = 2+y$

Einzelheiten

• Sie können eine auf 0 oder 1 basierende Indizierung verwenden, je nachdem, was für Sie am besten geeignet ist.
• Sie können die $n$ te Primzahl mit dem Index $n$ oder den ersten $n$ Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge zurückgeben, oder Sie können eine unendliche Liste / einen Generator zurückgeben, der die Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge erzeugt.

Testfälle

Die ersten Begriffe lauten wie folgt:

(#1-13)   7, 13, 19, 37, 61, 109, 127, 193, 271, 331, 397, 433, 547,
(#14-24) 631, 769, 919, 1201, 1453, 1657, 1801, 1951, 2029, 2269, 2437,
(#25-34) 2791, 3169, 3469, 3571, 3889, 4219, 4447, 4801, 5167, 5419,
(#35-43) 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10093, 10267, 11719, 12097,
(#44-52) 12289, 13267, 13669, 13873, 16651, 18253, 19441, 19927, 20173

Weitere Begriffe finden Sie in OEIS: Sie werden in zwei Sequenzen aufgeteilt, je nachdem, ob $x = 1+y$ oder $x = 2+y$ : A002407 und A002648

JavaScript (V8) , 54 Byte

Ein vollständiges Programm, das kubanische Primzahlen für immer druckt.

for(x=0;;){for(k=N=~(3/4*++x*x);N%++k;);~k||print(-N)}

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^{NB: Wenn sich in Ihrem Drucker kein unbegrenztes Papier befindet, versuchen Sie nicht, dies in Ihrer Browserkonsole auszuführen , da dies print()möglicherweise eine andere Bedeutung hat.}

JavaScript (ES6),  63 61 60  59 Bytes

Gibt die $n$ te kubanische Primzahl mit einem Index zurück.

f=(n,x)=>(p=k=>N%++k?p(k):n-=!~k)(N=~(3/4*x*x))?f(n,-~x):-N

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Wie?

Dies beruht auf der Tatsache, dass kubanische Primzahlen Primzahlen der Form sind:

Die obige Formel kann wie folgt geschrieben werden:

oder für jedes $y>0$ :

das ist $\dfrac{x^3-y^3}{x-y}$ für$x=y+1$bzw.$x=y+2$.

05AB1E , 16 12 9 Bytes

Erzeugt eine unendliche Liste.
4 Bytes mit Kevin Cruijssens Port-of-Arnaulds-Formel gespeichert .
Weitere 3 Bytes dank Grimy gespeichert

∞n3*4÷>ʒp

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Erläuterung

∞          # on the list of infinite positive integers
 n3*4÷>    # calculate (3*N^2)//4+1 for each
       ʒp  # and filter to only keep primes

R , 75 73 Bytes

n=scan()
while(F<n)F=F+any(!(((T<-T+1)*1:4-1)/3)^.5%%1)*all(T%%(3:T-1))
T

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-2 Bytes, indem ich bemerke, dass ich Klammern entfernen kann, wenn ich *stattdessen verwende &(anderer Vorrang).

Gibt das aus nth Cuban prime (1-indexed).

$p=1+3n^2$ or $4p=1+3n^2$ for some $n$, i.e. $n=\sqrt{\frac{a\cdot p-1}{3}}$ is an integer for $a=1$ or $a=4$.

$2p=1+3n^2$$3p=1+3n^2$$a\in\{1, 2, 3, 4\}$1:4$a\in\{1, 4\}$ (c(1,4)).

Slightly ungolfed version of the code:

# F and T are implicitly initialized at 0 and 1
# F is number of Cuban primes found so far
# T is number currently being tested for being a Cuban prime
n = scan()                       # input
while(F<n){
  T = T+1                        # increment T 
  F = F +                        # increment F if
    (!all(((T*1:4-1)/3)^.5 %% 1) # there is an integer of the form sqrt(((T*a)-1)/3)
     & all(T%%(3:T-1)))          # and T is prime (not divisible by any number between 2 and T-1)
  }
T                                # output T

(*) No prime can be of the form $3p=1+3n^2$, else $1=3(p-n^2)$ would be divisible by $3$.

No prime other than $p=2$ (which isn't a Cuban prime) can of the form $2p=1+3n^2$: $n$ would need to be odd, i.e. $n=2k+1$. Expanding gives $2p=4+12k(k+1)$, hence $p=2+6k(k+1)$ and $p$ would be even.

Wolfram Language (Mathematica), 66 65 56 bytes

(f=1+⌊3#/4#⌋&;For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++];f@n)&

Try it online!

• J42161217 -1 by using ⌊ ⌋ instead of Floor[ ]

• attinat

  • -1 by using ⌊3#/4#⌋ instead of ⌊3#^2/4⌋
  • -8 for For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++] instead of n=2;i=#;While[i>0,i-=Boole@PrimeQ@f@++n]

Java 8, 94 88 86 84 bytes

v->{for(int i=3,n,x;;System.out.print(x<1?++n+" ":""))for(x=n=i*i++*3/4;~n%x--<0;);}

-6 bytes by using the Java prime-checker of @SaraJ, so make sure to upvote her!
-2 bytes thanks to @OlivierGrégoire. Since the first number we check is 7, we can drop the trailing %n from Sara's prime-checker, which is to terminate the loop for n=1.
-2 bytes thanks to @OlivierGrégoire by porting @Arnauld's answer.

Outputs space-delimited indefinitely.

Try it online.

Explanation (of the old 86 bytes version): TODO: Update explanation

Uses the formula of @Arnauld's JavaScript answer: $p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$.

v->{                     // Method with empty unused parameter and no return-type
  for(int i=3,           //  Loop-integer, starting at 3
          n,x            //  Temp integers
      ;                  //  Loop indefinitely:
      ;                  //    After every iteration:
       System.out.print( //     Print:
        n==x?            //      If `n` equals `x`, which means `n` is a prime:
         n+" "           //       Print `n` with a space delimiter
        :                //      Else:
         ""))            //       Print nothing
    for(n=i*i++*3/4+1,   //   Set `n` to `(3*i^2)//4+1
                         //   (and increase `i` by 1 afterwards with `i++`)
        x=1;             //   Set `x` to 1
        n%++x            //   Loop as long as `n` modulo `x+1`
                         //   (after we've first increased `x` by 1 with `++x`)
             >0;);}      //   is not 0 yet
                         //   (if `n` is equal to `x`, it means it's a prime)

Wolfram Language (Mathematica) , 83 Byte

(t=1;While[Length[l=Select[Join@@Array[{(v=3#^2+1)+3#,v}&,t++],PrimeQ]]<#];Sort@l)&

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Jelly, 12 bytes

²×3:4‘
ÇẒ$#Ç

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Based on @Arnauld’s method. Takes n on stdin and returns that many Cuban primes.

Wolfram Language (Mathematica), 83 bytes

This solution will output the n-th Cuban prime with the added benefits of being fast and remembering all previous results in the symbol f.

(d:=1+3y(c=1+y)+3b c;e:=If[PrimeQ@d,n++;f@n=d];For[n=y=b=0,n<#,e;b=1-b;e,y++];f@#)&

Try it online!

Whitespace, 180 bytes

[S S S T    S N
_Push_2][S N
S _Duplicate][N
S S N
_Create_Label_OUTER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][T S S N
_Multiply][S S S T  T   N
_Push_3][T  S S N
_Multiply][S S S T  S S N
_Push_4][T  S T S _Integer_divide][S S S T  N
_Push_1][T  S S S _Add][S S S T N
_Push_1][S N
S _Duplicate_1][N
S S S N
_Create_Label_INNER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][S T   S S T   T   N
_Copy_0-based_3rd][T    S S T   _Subtract][N
T   S T N
_Jump_to_Label_PRINT_if_0][S T  S S T   S N
_Copy_0-based_2nd][S N
T   _Swap_top_two][T    S T T   _Modulo][S N
S _Duplicate][N
T   S S S N
_Jump_to_Label_FALSE_if_0][N
S N
S N
_Jump_to_Label_INNER_LOOP][N
S S T   N
_Create_Label_PRINT][T  N
S T _Print_as_integer][S S S T  S T S N
_Push_10_(newline)][T   N
S S _Print_as_character][S N
S _Duplicate][N
S S S S N
_Create_Label_FALSE][S N
N
_Discard_top_stack][S N
N
_Discard_top_stack][N
S N
N
_Jump_to_Label_OUTER_LOOP]

Letters S (space), T (tab), and N (new-line) added as highlighting only.
[..._some_action] added as explanation only.

Outputs newline-delimited indefinitely.

Try it online (with raw spaces, tabs, and new-lines only).

Explanation in pseudo-code:

Port of my Java 8 answer, which also uses the formula from @Arnauld's JavaScript answer: $p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$.

Integer i = 2
Start OUTER_LOOP:
  i = i + 1
  Integer n = i*i*3//4+1
  Integer x = 1
  Start INNER_LOOP:
    x = x + 1
    If(x == n):
      Call function PRINT
    If(n % x == 0):
      Go to next iteration of OUTER_LOOP
    Go to next iteration of INNER_LOOP

function PRINT:
  Print integer n
  Print character '\n'
  Go to next iteration of OUTER_LOOP

Python 3, 110 108 102 bytes

Ähnliche Methode zu meiner Mathematica-Antwort (dh isPrime(1+⌊¾n²⌋) else n++) unter Verwendung dieses Golf-Prime-Checkers und Zurückgeben eines anonymen unendlichen Generators

from itertools import*
(x for x in map(lambda n:1+3*n**2//4,count(2)) if all(x%j for j in range(2,x)))

Probieren Sie es online!

• mypetlion -2, weil wohl anonyme Generatoren mehr erlaubt sind als namentlich genannte
• -6 indem ich countbei 2 _{+1 beginne,} so dass der and x>1in der Primzahl ausgeborgte Checker unnötig ist _-7

Japt , 14 13 Bytes

Adaptiert von Arnauld's Formel . 1-indiziert.

@µXj}f@Ò(X²*¾

Versuch es

1 Byte gespart dank AusführungsformVerfügbarkeit.

Schläger , 124 Bytes

(require math)(define(f n[i 3])(let([t(+(exact-floor(* 3/4 i i))1)][k(+ 1 i)])(if(prime? t)(if(= 0 n)t(f(- n 1)k))(f n k))))

Probieren Sie es online!

Gibt die n-te kubanische Primzahl mit dem Index 0 zurück.

Verwendet die Formel der JavaScript-Antwort von @ Arnauld

Python 3 , 83 Bytes

druckt die kubanischen Primzahlen für immer.

P=k=1
while 1:P*=k*k;x=k;k+=1;P%k>0==((x/3)**.5%1)*((x/3+.25)**.5%1-.5)and print(k)

Probieren Sie es online!

Basierend auf diesem Prime Generator. Für jede Primzahl wird geprüft, ob eine ganze Zahl y existiert, die die Gleichung für eine von beiden erfüllt$x = 1+y$ oder $x=2+y$.

Perl 6 , 33 31 Bytes

-2 Bytes dank Grimy

{grep &is-prime,1+|¾*$++²xx*}

Probieren Sie es online!

Anonymer Codeblock, der eine unendliche Liste fauler kubanischer Primzahlen zurückgibt. Hierbei wird die Formel von Arnauld verwendet , um mögliche kubanische Primzahlen zu generieren und diese dann &is-primezu filtern.

Erläuterung:

{                           }  # Anonymous code block
 grep &is-prime,               # Filter the primes from
                         xx*   # The infinite list
                   ¾*          # Of three quarters
                     $++²      # Of an increasing number squared
                1+|            # Add one by ORing with 1

Pari / GP , 51 Bytes

Nach der Formel von Arnauld .

n->a=0;for(i=1,n,until(isprime(p=3*a^2\4+1),a++));p

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APL (NARS), 98 Zeichen, 196 Byte

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
→3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
→2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
→2×⍳w>c

eingerückt:

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
    →3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
    →2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
    →2×⍳w>c

Prüfung:

  h ¨1..20
7 13 19 37 61 109 127 193 271 331 397 433 547 631 769 919 1201 1453 1657 1801 
  h 1000
25789873
  h 10000
4765143511

es basiert auf: wenn y in N ist, ist ein möglicher kubanischer Prime

S1=1+3y(y+1)

der nächste mögliche kubanische Premier wird sein

S2=3(y+1)+S1