Herausforderung

Schreiben Sie ein Programm P ohne Eingabe, so dass der Satz „die Ausführung von P endet“ unabhängig von der Peano-Arithmetik ist .

Formale Regeln

(Falls Sie ein mathematischer Logiker sind, der die obige Beschreibung für zu informell hält.)

Grundsätzlich kann man eine Universal Turing-Maschine U (zB Ihre Lieblingsprogrammiersprache) in eine Peano-Rechenformel HALT über die Variable p umwandeln , wobei HALT ( p ) den Satz „ U endet auf dem Programm ( Gödel-codiert von) p ”. Die Herausforderung besteht darin, p so zu finden , dass weder HALT ( p ) noch ¬HALT ( p ) in der Peano-Arithmetik bewiesen werden können.

Sie können davon ausgehen, dass Ihr Programm auf einem idealen Computer mit unbegrenztem Speicher und ganzen Zahlen / Zeigern ausgeführt wird, die groß genug sind, um darauf zuzugreifen.

Beispiel

Um zu sehen, dass solche Programme existieren, ist ein Beispiel ein Programm, das ausführlich nach einem Peano-arithmetischen Beweis von 0 = 1 sucht. Die Peano-Arithmetik beweist, dass dieses Programm genau dann anhält, wenn die Peano-Arithmetik inkonsistent ist. Da die Peano-Arithmetik konsistent ist, aber ihre eigene Konsistenz nicht nachweisen kann , kann sie nicht entscheiden, ob dieses Programm anhält.

Es gibt jedoch viele andere Aussagen, die unabhängig von der Peano-Arithmetik sind und auf denen Sie Ihr Programm aufbauen können.

Motivation

Diese Herausforderung wurde durch eine neue Veröffentlichung von Yedidia und Aaronson (2016) inspiriert, die eine Turing-Maschine mit 7.918 Zuständen zeigt, deren Nichtbeeinflussung unabhängig von ZFC ist , einem viel stärkeren System als die Peano-Arithmetik. Das könnte Sie interessieren [22]. Für diese Herausforderung können Sie natürlich anstelle der tatsächlichen Turing-Maschinen die von Ihnen gewählte Programmiersprache verwenden.

Haskell, 838 Bytes

"Wenn du etwas machen willst, ..."

import Control.Monad.State
data T=V Int|T:$T|A(T->T)
g=guard
r=runStateT
s!a@(V i)=maybe a id$lookup i s
s!(a:$b)=(s!a):$(s!b)
s@((i,_):_)!A f=A(\a->((i+1,a):s)!f(V$i+1))
c l=do(m,k)<-(`divMod`sum(1<$l)).pred<$>get;g$m>=0;put m;l!!fromEnum k
i&a=V i:$a
i%t=(:$).(i&)<$>t<*>t
x i=c$[4%x i,5%x i,(6&)<$>x i]++map(pure.V)[7..i-1]
y i=c[A<$>z i,1%y i,(2&)<$>y i,3%x i]
z i=(\a e->[(i,e)]!a)<$>y(i+1)
(i?h)p=c[g$any(p#i)h,do q<-y i;i?h$q;i?h$1&q:$p,do f<-z i;a<-x i;g$p#i$f a;c[i?h$A f,do b<-x i;i?h$3&b:$a;i?h$f b],case p of A f->c[(i+1)?h$f$V i,do i?h$f$V 7;(i+1)?(f(V i):h)$f$6&V i];V 1:$q:$r->c[i?(q:h)$r,i?(2&r:h)$V 2:$q];_->mzero]
(V a#i)(V b)=a==b
((a:$b)#i)(c:$d)=(a#i)c&&(b#i)d
(A f#i)(A g)=f(V i)#(i+1)$g$V i
(_#_)_=0<0
main=print$(r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$3&V 7:$(6&V 7))=<<[0..])!!0

Erläuterung

Dieses Programm sucht direkt nach einem Peano-arithmetischen Beweis von 0 = 1. Da PA konsistent ist, wird dieses Programm niemals beendet. Da PA jedoch seine eigene Konsistenz nicht nachweisen kann, ist die Nichtbeendigung dieses Programms unabhängig von PA.

T ist die Art der Ausdrücke und Sätze:

• A Prepräsentiert den Satz ∀ x [ P ( x )].
• (V 1 :$ P) :$ Qstellt den Satz P → Q .
• V 2 :$ Pstellt den Satz ¬ P .
• (V 3 :$ x) :$ yrepräsentiert den Satz x = y .
• (V 4 :$ x) :$ yrepräsentiert das natürliche x + y .
• (V 5 :$ x) :$ yrepräsentiert das natürliche x ⋅ y .
• V 6 :$ xrepräsentiert das natürliche S ( x ) = x + 1.
• V 7 repräsentiert die natürliche 0.

In einer Umgebung mit i freien Variablen codieren wir Ausdrücke, Sätze und Beweise als 2 × 2 Ganzzahlmatrizen [1, 0; a , b ] wie folgt:

• M ( i , x [ P ( x )]) = [1, 0; 1, 4] ≤ M ( i , λ x [P (x)])
• M ( i , λ x [ F ( x )]) = M ( i + 1, F ( x )) , wobei M ( j , x ) = [1, 0; 5 + i , 4 + j ] für alle j > i
• M ( i , P → Q ) = [1, 0; 2, 4] ≤ M ( i , P ) ≤ M ( i , Q )
• M ( i , P ) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , P )
• M ( i , x = y ) = [1, 0; 4, 4] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , x + y ) = [1, 0; 1, 4 + i ] ≤ M ( i , x ) ≤ M ( i , y )
• M ( i , x ≤ y ) = [1, 0; 2, 4 + i ] ≤ M ( i , x ) ≤ M ( i , y )
• M ( i , S x ) = [1, 0; 3, 4 + i ] ⋅ M ( i , x )
• M ( i , 0) = [1, 0; 4, 4 + i ]
• M ( i , ( Γ , P ) ⊢ P ) = [1, 0; 1, 4]
• M ( i , & Ggr; ⊢ P ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( i , Q ) ⋅ M ( i , & Ggr; ⊢ Q ) ⋅ M ( i , & Ggr; ⊢ Q → P )
• M ( i , & Ggr; ⊢ P ( x )) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 1, 2] ⋅ M ( i , & Ggr; ⊢ ∀ x P (x))
• M ( i , & Ggr; ⊢ P ( x )) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 2, 2] ⋅ M ( i , y ) ⋅ M ( i , & Ggr; ⊢ y = x ) ⋅ M ( i , & Ggr; ⊢ P ( y ))
• M ( i , & Ggr; ⊢ ∀ x , P ( x )) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( i , λ x [ & Ggr; ⊢ P ( x )]) ,
• M ( i , & Ggr; ⊢ ∀ x , P ( x )) = [1, 0; 12, 8] ⋅ M ( i , Γ ⊢ P (0)) ⋅ M ( i , λ x [( Γ , P ( x )) ⊢ P (S ( x ))])
• M ( i , & Ggr; ⊢ P → Q ) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , P ) ⊢ Q )
• M ( i , & Ggr; ⊢ P → Q ) = [1, 0; 12, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , ¬ Q ) ⊢ ¬ P )

Die übrigen Axiome numerisch kodiert und in der Anfangsumgebung enthalten Γ :

• M (0, x [ x = x ]) = [1, 0; 497, 400]
• M (0, ≤ x [¬ (S ( x ) = 0)]) = [1, 0; 8269, 8000]
• M (0, ≤ x ≤ y [S ( x ) = S ( y ) → x = y ]) = [1, 0; 56106533, 47775744]
• M (0, x [ x + 0 = x ]) = [1, 0; 12033, 10000]
• M (0, y [ x + S ( y ) = S ( x + y )]) = [1, 0; 123263749, 107495424]
• M (0, ≤ x [ x ≤ 0 = 0]) = [1, 0; 10049, 10000]
• M (0, ≤ x ≤ y [ x ≤ S ( y ) = x ≤ y + x ]) = [1, 0; 661072709, 644972544]

Ein Beweis mit Matrix [1, 0; a , b ] kann nur in Anbetracht der unteren linken Ecke a (oder eines anderen Wertes, der zu einem Modulo b kongruent ist) überprüft werden ; Die anderen Werte dienen zur Erstellung von Proofs.

Zum Beispiel ist hier ein Beweis, dass Addition kommutativ ist.

• M (0, & Ggr; ⊢ ∀ x ∀ y [ x + y = y + x]) = [1, 0; 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644, 14010499234317302152403198529613715336094817740448888109376168978138227692104106788277363562889534501599380268163213618740021570705080096139804941973102814335632180523847407060058534443254569282138051511292576687428837652027900127452656255880653718107444964680660904752950049505280000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

Sie können dies mit dem Programm wie folgt überprüfen:

*Main> let p = A $ \x -> A $ \y -> V 3 :$ (V 4 :$ x :$ y) :$ (V 4 :$ y :$ x)
*Main> let a = 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644
*Main> r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$p)a :: [((),Integer)]
[((),0)]

Wenn der Beweis ungültig wäre, würden Sie stattdessen die leere Liste erhalten.