Zur Komplexität der Bandbreitenminimierung

Das Graphbandbreitenproblem ist wie folgt definiert. Wenn ein Graph , ist ein Layout von eine Eins-zu-Eins-Abbildung der Eckpunkte von auf die ganzen Zahlen . Die Bandbreite von ist definiert als$G=(V,E)$ $f$$G$$G$$\{1, \ldots, |V|\}$$f$

$bw(f) = \max \{|f(u) - f(v)| \mid \{u,v\} \in E\}$ .

Die mit bw (G) bezeichnete Bandbreite von $G$ ist definiert als die minimale Bandbreite eines Layouts, wobei das Minimum über alle möglichen Layouts hinweg genommen wird.$bw(G)$

Die Entscheidungsfrage lautet: Wenn ein Graph $G$ und eine ganze Zahl $k$ , ist $bw(G) \le k$ ?

Es ist bekannt, dass dieses Problem auch für Bäume mit maximalem Grad drei NP-vollständig ist [ Komplexitätsergebnisse für die Bandbreitenminimierung . Garey, Graham, Johnson und Knuth, SIAM J. Appl. Math. 34, Nr. 3, 1978]. Die Autoren zeigen, dass man in polynomialer Zeit testen kann, ob ein Graph höchstens zwei Bandbreiten hat. Der Fall $bw \le 3$ war offen.

Ist die Komplexität des Falls $bw \le 3$ bekannt? Was wissen wir über die Komplexität des Problems, wenn $k$ nicht Teil der Eingabe ist, sondern eine feste Konstante von mindestens $4$ ?

Referenzen wären nett.

Das Bandbreitenproblem ist für alle -hart . Es wurde von Bodlaender et al. in "Jenseits der NP-Vollständigkeit für Probleme mit begrenzter Breite." Siehe das Papier .$W[t]$$t$

Andererseits ist auch bekannt, dass für jedes in der entschieden werden kann , ob ein gegebener Graph höchstens Bandbreite hat . Dies impliziert, dass das Bandbreitenproblem in . Siehe die andere Zeitung von Saxe.k O ( f ( k ) , n k + 1 ) X $k$$k$$O(f(k)n^{k+1})$$XP$