Kann die Zugabe in einer Tiefe von weniger als 5 durchgeführt werden?

Unter Verwendung des Carry-Look-Ahead-Algorithmus können wir die Addition unter Verwendung einer Schaltkreisfamilie mit einer Polynomgrößentiefe von 5 (oder 4?) berechnen . Ist es möglich, die Tiefe zu verringern? Können wir die Addition von zwei Binärzahlen unter Verwendung einer Polynomgrößen-Schaltkreisfamilie mit einer Tiefe berechnen, die geringer ist als die, die durch den Carry-Look-Ahead-Algorithmus erhalten wird? $AC^0$

Gibt es Superpolynom-Untergrenzen für die Größe von Schaltkreisfamilien, die Additionen berechnen, wobei 2 oder 3 ist? $AC^0_d$ $d$

Mit Tiefe meine ich Wechseltiefe.

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds upper-bounds Anonym
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Tayfun Pay

@Geekster, im Allgemeinen müssen Benutzer kein Konto erstellen oder ihre echten Namen verwenden (dies wird jedoch aus verschiedenen Gründen empfohlen). Wenn Sie allgemeine Bedenken zu etwas haben, wenden Sie sich an Theoretical Computer Science Meta , um es zur Sprache zu bringen.

Kaveh

Dies könnte brachial erzwungen werden, indem überprüft wird, dass keine Schaltung der Tiefe AC die -Bitsumme von zwei Bit-Eingaben für ein bestimmtes festes berechnen kann ; Es gibt nur endlich viele Boolesche Funktionen der Eingangsbits, die in jeder Tiefe auftreten können.

4

$4$

^{0}

$^{0}$

(m + 1)

$(m+1)$

m

$m$

m

$m$

mjqxxxx

@mjqxxxx: Wie erzwingen Sie die Polynomgrößenbeschränkung für AC0-Schaltungen, wenn Sie ein festes m erzwingen? @OP: Ist die aktuell beste Schaltkreistiefe 4 oder Tiefe 5?

Robin Kothari

@mjqxxxx: Jede Boolesche Funktion kann durch Schaltkreise der Tiefe berechnet werden. Nun nehmen wir Sie für Ihre Fest finden eine Schaltung Größe . Wie beurteilen Sie, ob es für jedes Kreise gibt , wobei , oder ob es nur Kreise der Größe , wobei ? Es gibt einfach keine Möglichkeit, aus einem endlichen Beispiel auf asymptotische Informationen zu schließen.

2

$2$

m

$m$

s

$s$

c n

$cn$

n

$n$

c = s / m

$c=s/m$

2^{ϵ n}

$2^{\epsilon n}$

ϵ = (\log s) / m

$\epsilon=(\log s)/m$

Emil Jeřábek unterstützt Monica

Antworten:

Nach Satz 3.1 in Alexis Maciel und Denis Therien Schwellenschaltungen der kleinen Mehrheits Tiefe gibt es in der Tat eine Tiefe-3 Schaltung zur Berechnung der Addition von zwei Zahlen.

Die genaue Grenze ist wobei Probleme sind, die Schaltkreise mit Tiefe-2 mit beiden Gates an der Spitze aufweisen und Kreise sind Kreise der Tiefe eins (eine detaillierte Erläuterung der Notation finden Sie im Artikel). $\Delta_2 \cdot \mathsf{NC}^0_1$ $\Delta_2 = \Sigma_2 \cap \Pi_2$ $\mathsf{AC}^0$ $\vee,\wedge$ $\mathsf{NC}^0_1$ $\mathsf{NC}^0$

Die Hauptbeweisideen sind:

zuerst die Carry-Lookahead-Schaltung als $\mathsf{NC}^0\cdot\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
als Nächstes die Schließungseigenschaften von auf, um diese als zu schreiben $\Delta_2$ $\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
Verwenden Sie zum Schluss die Tatsache, dass $\mathsf{NC}^0 \subset \Delta_1\cdot\mathsf{NC}^0_1$

SamiD
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Schaltkreise der Tiefe 2 erfordern eine exponentielle Größe, um die Addition zu berechnen, da ein Schaltkreis der Tiefe 2 entweder DNF oder CNF sein muss und es leicht zu überprüfen ist, ob es exponentiell viele Zwischen- und Höchstwerte gibt.

Achtung : Das Teil unten ist fehlerhaft . Siehe die Kommentare unter der Antwort.

Wie ich es zähle, kann die Addition in der Tiefe 3 erfolgen. Angenommen, und sind die ten Bits der beiden Zahlen, wobei der Index des LSB und des MSB ist. $a_i$ $b_i$ $i$ $0$ $n$

Berechnen wir das te Bit der Summe, auf die übliche Weise mit Carry Look Ahead: $i$ $s_i$

s_{ich} = {ein}_{ich} \oplus b_{ich} \oplus c_{ich}

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus c_i$

wobei XOR ist und der Übertrag ist, der wie folgt berechnet wird: $\oplus$ $c_i$

c_{ich} = \underset{j ∣ j < ich}{⋁} (G_{j} \land p_{j})

$c_i = \bigvee_{j\mid j < i} (g_j \wedge p_j)$

und bedeutet, dass der te Ort den Übertrag "erzeugt" hat: $g_j$ $j$

G_{j} = ({ein}_{j} \land b_{j})

$g_j = (a_j \wedge b_j)$

und bedeutet, dass der Übertrag von nach propagiert wird : $p_j$ $j$ $i$

p_{j} = \underset{k ∣ j < k < ich}{⋀} ({ein}_{j} \lor b_{j})

$p_j = \bigwedge_{k\mid j < k < i} (a_j \vee b_j)$

Zählt man die Tiefe, so ist die Tiefe 2 und die Tiefe 3. Es scheint zwar, dass die Tiefe 4 oder 5 ist, es ist aber auch nur die Tiefe 3, da es sich bei der Berechnung der Schaltkreise der Tiefe 3 um eine beschränkte Berechnung handelt kann die oberen beiden Ebenen mit De-Morgan-Formeln nach unten drücken, während die Schaltkreisgröße um einen polynomiellen Betrag verringert wird. $p_j$ $c_i$ $s_i$

Noam
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Ich weiß nicht recht sehen , wie beschränkte Fanin Berechnung der Tiefe 3 Schaltungen automatisch Tiefe 3. Wenn, sagen wir, Sie schreiben

als

können Sie mit

oben die erste Verbindung zu einem Kreis mit Tiefe 3 und mit

die zweite Verbindung zu einem Kreis mit Tiefe 3

s_{i}

$s_i$

(c_{i} \land \neg (a_{i} \oplus b_{i})) \lor (\neg c_{i} \land (a_{i} \oplus b_{i}))

$(c_i\land\neg(a_i\oplus b_i))\lor(\neg c_i\land(a_i\oplus b_i))$

⋁

$\bigvee$

⋀

$\bigwedge$ oben drauf. Ich weiß nicht, wie man die obere Disjunktion nach unten drückt, ohne die Tiefe um eins zu erhöhen, um die Nichtübereinstimmung zwischen den Verbindungstypen in den beiden Teilen zu erklären. Dies kann durch die Feststellung behoben werden, dass

auch auf andere Weise durch eine Schaltung der Tiefe 3 berechnet werden kann ...

c_{i}

$c_i$

Emil Jeřábek unterstützt Monica

... mit

oben. Auf der anderen Seite haben alle Tiefen-3-Schaltkreise das untere Fan-In begrenzt, daher würde ich sie Tiefe 2 1/2 nennen.

⋀

$\bigwedge$

Emil Jeřábek unterstützt Monica

Das ist offensichtlich. Was ich unter Hinweis darauf ist , dass wie geschrieben, Sie nicht haben hier ein ODER von zwei Tiefen

Schaltungen mit und an der Spitze. Sie haben ein ODER mit zwei Schaltkreisen der Tiefe

, von denen einer oben UND und der andere oben ODER hat. Ich bezweifle, dass solche Schaltungen im Allgemeinen in die Tiefe

konvertiert werden können . Stellen Sie sich die polynomischen Fan-In-ANDs und -ORs als Quantifizierer vor. Sie können ausdrücken

d

$d$

d

$d$

d

$d$

als Vorformel mit

Quantifiziererblöcken, aber Sie brauchen

Blöcke, um auszudrücken ...

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ψ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\psi(x_1,\dots,x_d))$

d

$d$

d + 1

$d+1$

Emil Jeřábek unterstützt Monica

... die Formel

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\exists x_{1} \forall x_{2} \dots \bar{Q} x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\exists x_1\forall x_2\dots \overline Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))$

Emil Jeřábek unterstützt Monica

Für ein explizites Gegenbeispiel zum allgemeinen Prinzip sei

eine Familie von Funktionen, die durch

-Schaltungen mit OR an der Spitze berechenbar sind, wobei superpolynomielle

-Schaltungen mit AND an der Spitze erforderlich sind (zB Sipser-Funktionen). Dann haben

keine

-Schaltungen. Nehmen Sie für den Widerspruch an, dass

f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_n(x_1,\dots,x_n)$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

d

$d$

x_{0} \oplus f_{n}

$x_0\oplus f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

C_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})

$C_n(x_0,\dots,x_n)$ sind solche Schaltungen, und dass

OR oben hat (der andere Fall ist symmetrisch). Durch Setzen von

erhalten wir

Schaltkreise für

mit OR oben, daher

Schaltkreise für

mit AND oben, ein Widerspruch.

C_{n}

$C_n$

x_{0} = 1

$x_0=1$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

\neg f_{n}

$\neg f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

f_{n}

$f_n$

Emil Jeřábek unterstützt Monica