Annäherung des Gattungsproblems

Was ist derzeit über die Annäherbarkeit des Gattungsproblems bekannt? Eine vorläufige Suche zeigt mir, dass eine konstante Faktornäherung für ausreichend dichte Graphen trivial ist und ein Approximationsalgorithmus ausgeschlossen wurde. Sind diese Informationen aktuell oder sind bessere Grenzen bekannt?$n^\epsilon$

Die besten veröffentlichten Ergebnisse erscheinen alle in einem 1997 Papier von Jianer Chen, Sarojas P. Kanchi und Arkady Kanevsky.

• Für jedes feste $\varepsilon>0$ ist die Berechnung der Gattung eines Graphen mit dem additiven Fehler $O(n^\varepsilon)$ NP-schwer.

• Es gibt einen trivialen linearen Zeitalgorithmus zum Einbetten eines beliebigen Vertex-Graphen der (unbekannten) Gattung in eine orientierbare Oberfläche der Gattung : Weisen Sie den Kanten, die jeden Scheitelpunkt verlassen, eine beliebige zyklische Reihenfolge zu (Halten Sie Schleifen und parallele Kanten zusammen). Mit anderen Worten, wenn die Gattung groß ist, ist jede Einbettung eine gute Annäherung an die beste Einbettung.$n$$g$$\max\{4g, g+4n\}$

• Es gibt einen -Näherungsalgorithmus für die Polynomzeit für Graphen mit begrenztem Grad.$O(\sqrt{n})$

Es ist eine offene Frage, ob es einen effizienten Algorithmus zur Annäherung an konstante Faktoren gibt.

Ich wollte zu Jɛ ff E's umfassender Antwort hinzufügen, dass es nach meinem besten Wissen keine Untergrenzen für den Approximationsfaktor für dieses Problem gibt. Soweit wir wissen, kann es einen Approximationsalgorithmus geben, der immer eine konstante Faktornäherung liefert (auch wenn die Gattung sehr klein ist).

Die Arbeit Chen, Kanchi und Kanevsky [CKK '97] sagt nur, dass die Berechnung der Gattung mit dem additiven Fehler NP-schwer ist. Hier ist ein sehr informeller Überblick über ihre Argumentation. Es wird klar sein, dass dieses Argument nicht verwendet werden kann, um eine Untergrenze des Approximationsfaktors zu beweisen. Betrachten Sie einen Graphen so, dass es NP-schwer ist zu bestimmen, ob oder (für einige ) ;; Ein solcher Graph existiert, da das Problem NP-schwer ist. Lassen die Anzahl der Ecken in seiner . Sei eine große Konstante. Nehmen Sie disjunkte Kopien des Graphen$O(n^{1-\varepsilon})$$G$$\mathrm{genus}(G) \leq g^*$$\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$$g^*$$n$$G$$k$$N = n^k$$G$und betrachten ihre Vereinigung. Dann ist es in dem erhaltenen Graphen NP-schwer zu bestimmen, ob oder . Das heißt, es ist NP-schwer, mit dem additiven Fehler zu berechnen , wobei . Diese Konstruktion gibt uns keine Untergrenze für den Approximationsfaktor; das Verhältnis von zu entspricht dem Verhältnis von zu .$G'$$\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$$\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$$\mathrm{genus}(G')$$N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$$\varepsilon = 1/(k+1)$$N(g^*+1)$$Ng^*$$g^*+1$$g^*$