Matrixsteifigkeit und Verwendung von Matrizen mit geringer Steifigkeit

Etwa eine Matrix mit Rang wird als starr bezeichnet, wenn ihr Rang auf $n$ hat man zumindest ändernn1.+εseiner Einträge, für einigeε>0.$\frac{n}{2}$$n^{1+\epsilon}$$\epsilon > 0$

Wenn eine Matrix A starr ist, hat das kleinste gerade Programm, das A x berechnet ( x ist ein Vektor der Größe n ), entweder eine superlineare Größe oder eine superlogarithmische Tiefe.$n \times n$$A$$Ax$$x$$n$

Gibt es eine Umkehrung zu der obigen Aussage?

Mit anderen Worten, gibt es Verwendungen für nicht triviale und nicht offensichtliche Matrizen mit niedriger Steifigkeit von vollem Rang in TCS?

Gibt es einen Begriff der Starrheit für Matrizen mit niedrigeren Rängen (sagen wir für eine Konstantec)?$\frac{n}{c}$$c$

In Ermangelung einer weiteren Klärung der Frage folgt hier ein Versuch / eine Skizze einer Antwort. Die Matrixsteifigkeit hat tiefe Verbindungen zu grundlegenden Fragen in der TCS / Komplexitätstheorie, einschließlich der unteren Grenzen der Schaltung [1] und damit der Komplexitätsklassentrennung und der Codierungstheorie [2] sowie in anderen Bereichen. [5] ist eine schöne Folienumfrage.

Die Begriffe "niedrig" und "hoch" in Bezug auf die Steifheit von Matrizen werden informell und nicht in einem genau definierten technischen Sinne verwendet. [obwohl Friedman "starke" Starrheit definiert hat. [6]] Es ist bekannt, dass Zufallsmatrizen eine hohe Steifigkeit aufweisen. Grundsätzlich ist es jedoch ein 3,5 Jahrzehnte altes offenes Problem in diesem Bereich, jede Matrix mit "signifikant hoher" Steifigkeit explizit zu konstruieren .

Die Frage definiert / klärt die subjektiven Begriffe "nicht trivial" oder "nicht offensichtlich" nicht weiter und wird dort etwas Freiheit nehmen.

In diesem Bereich gibt es eine Forschungslinie, die sich mit der Starrheit von Hadamard-Matrizen befasst, die in der Codierungstheorie und anderswo unterschiedliche Verwendungen / Anwendungen haben.

Es scheint fair zu sein, zu sagen, dass ein nachweislich hohes Steifigkeitsergebnis die Schwelle überschreiten würde, zumindest zu "neuen nichttrivialen Folgerungen in der Komplexitätstheorie" zu führen, aber die bekanntesten Grenzen für Hadamard-Matrizen reichen nicht aus. [3] Dies beweist jedoch auch nicht schlüssig, dass sie eine begrenzte "geringe" Steifigkeit aufweisen. Es ist im Grunde die gleiche Geschichte mit Vandermonde-Matrizen [auch Anwendungen in der Codierungstheorie], die von Lokam betrachtet werden. [4]

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass bei einigen Matrizen, einschließlich Hadamard / Vandermonde-Matrizen, "schwache untere Steifigkeitsgrenzen" nachgewiesen wurden.

Es scheint auch keine veröffentlichten numerischen Experimente, Schätzungen oder Algorithmen in diesem Bereich zu geben.

[1] Boolesche Funktionskomplexität von Stasys Jukna, 2011, Abschnitt 12.8 "Starre Matrizen erfordern große Schaltkreise"

[2] Über Matrixsteifigkeit und lokal selbstkorrigierbare Codes Zeev Dvir

[3] Verbesserte Untergrenzen für die Ridigität der Hadamard-Matrizen Kashin / Razborov

[4] Zur Starrheit der Vandermonde-Matrizen Lokam

[5] Mahdi Cheraghchi Matrix Rigiditätsgespräch

[6] J. Friedman. Ein Hinweis zur Matrixsteifigkeit. Combinatorica, 13 (2); 235 & ndash; 239, 1993