Logspace von Polynomialzeit trennen

Es ist klar, dass jedes Problem, das im deterministischen Lograum ( ) entscheidbar ist, höchstens zur Polynomzeit ( P ) auftritt . Zwischen L und P gibt es eine Fülle von Komplexitätsklassen . Beispiele umfassen N L , L o g C F L , N C i , S A C i , A C i , S C i . Es wird allgemein angenommen , dass L ≠ P .$L$$P$$L$$P$$NL$$LogCFL$$NC^i$$SAC^i$$AC^i$$SC^i$$L \neq P$

In einem meiner Blogbeiträge erwähnte ich zwei Ansätze (zusammen mit den entsprechenden Vermutungen), um zu beweisen . Beide Ansätze basieren auf Verzweigungsprogrammen und liegen 20 Jahre auseinander !! Gibt es andere Ansätze und / oder Vermutungen in Richtung Trenn L von P (OR) keine Zwischenklassen zwischen Trenn L und P .$L \neq P$$L$$P$$L$$P$

Schaltungs Tiefe untere Grenzen (äquivalent Formel Größe untere Grenzen) sind wahrscheinlich die natürlichste Ansatz: A Super- Tiefe für ein Problem in gebundener unteren P würde trennen P von L , und die Karchmer-Wigderson complexity Technik kann sei der Natürliche dafür.$\log^2(n)$$\mathsf P$$\mathsf P$$\mathsf L$

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$

$L$$n$$L(n)$$\mathbb{Z}^{k(n)}$$k(n) = \Theta(n^2)$$B(a,n)$$\mathbb{Z}^{k(n)}$$an$$f(x_1, \dotsc, x_k)$$f$$L(n)$$B(a,n)$$L(n) \cap B(a,n)$$\vec{x} \in B(a,n)$$f(\vec{x}) = 1$

$L(n)$$B(a,n)$$\det(M(\vec{x}))$$M$$\leq 2^{n/d}$$x_1, \dotsc, x_k$$a < 1/(2d)$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$

Die Beziehung zwischen den Bit-bound und die Größe gebunden ist hier von entscheidender Bedeutung. In der gleichen Zeitung zeigte er:$an$$2^{n/d}$

Satz [1, Satz 7.4] Die Hypothese des vorhergehenden Satzes gilt für alle hinreichend großen Bitgrenzen .$a$

Der Beweis des obigen Theorems verwendet einige schwere Hämmer als Blackbox, ist aber ansonsten elementar (Anmerkung: "elementar" " einfach "). Dabei wird die Milnor-Thom-Grenze für die Anzahl der verbundenen Komponenten einer reellen semialgebraischen Sorte verwendet (dieselbe Grenze, die auch von Ben-Or verwendet wird, um untere Grenzen für Elementunterscheidbarkeit / -sortierung im reellen Berechnungsbaummodell zu beweisen), die Collins-Zerlegung ( wird verwendet, um eine effektive Eliminierung von Quantifizierern über ), ein allgemeines Positionsargument und einige andere Ideen zu beweisen . Alle diese Techniken hingen jedoch nur vom Grad der beteiligten Polynome ab und können daher nicht verwendet werden, um wie im obigen Satz zu beweisen (in der Tat, [1, Prop. 7.5]). konstruiert ein Polynom$\neq$$\mathbb{R}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$$g$ im gleichen Maße wie so dass der obige Satz mit anstelle von fehlschlägt ). Diese Situation zu analysieren und nach Eigenschaften zu suchen, die über den Grad hinausgehen, war eine der Inspirationen für GCT.$\det$$g$$\det$

[1] K. Mulmuley. Untere Schranken in einem Parallelmodell ohne Bitoperationen . SIAM J. Comput., 28 (4), 1460–1509, 1999

Es war an meinem Tag, als mein Freund James mir sagte, dass dieser Thread von vor langer Zeit neu entfacht wurde. Danke für das.

Ich hatte auch das Bedürfnis, einige interessante Referenzen zu teilen, die für L vs Log (DCFL) vs Log (CFL) relevant sind. Ich wünsche ihnen einen wunderbaren Tag!

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-14031-0_35#page-1

http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10003-2_89?no-access=true

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-00982-2_42#page-1

http://www.researchgate.net/publication/220115950_A_Hardest_Language_Recognized_by_Two-Way_Nondeterministic_Pushdown_Automata

Dieses neue Papier wurde gerade von Luca Aceto in seinem Blog als bestes EATCS-Studentenpapier auf der ICALP 2014 hervorgehoben und hat eine neuartige Methode zur Trennung von NL / P:

• Härteergebnisse für den Schnittpunkt Nicht-Leere Wehar

  Wir untersuchen eine Konstruktion von Karakostas, Lipton und Viglas (2003) sorgfältig, um zu zeigen, dass das Problem der Überschneidung der Nicht-Leere für DFAs (deterministische endliche Automaten) die Komplexitätsklasse NL charakterisiert. Insbesondere, wenn es auf ein binäres Arbeitsbandalphabet beschränkt ist, existieren Konstanten und so dass für jedes Kreuzungs-Nicht-Leerzeichen für DFAs in Raum lösbar ist, aber nicht in lösbar ist Speicherplatz. Wir optimieren die Konstruktion, um zu zeigen, dass eine willkürliche Anzahl von DFA-Schnittpunkten, in denen die Nicht-Leere nicht lösbar ist, inc 2 k k c 1 k log ( n ) c 2 k log ( n ) o ( $c_1$$c_2$$k$$k$$c_1 k \log(n)$$c_2 k \log(n)$f(k)=o(k)kknf(k)ckkn$o \left( \frac{n}{\log(n) \log(\log(n))} \right)$Platz. Darüber hinaus, wenn es eine Funktion so dass für jede Überschneidung die Nicht-Leere für DFAs in Zeit lösbar ist , dann ist P ≠ NL. Existiert keine Konstante so dass für jede Schnittmenge die Nicht-Leere für DFAs in Zeit lösbar ist , dann enthält P keine Raumkomplexitätsklasse, die größer als NL ist.$f(k) = o(k)$$k$$k$$n^{f(k)}$$c$$k$$k$$n^c$