Kleinste Boolesche Schaltung zum Generieren einer Sprache

Betrachten Sie eine nicht leere Sprache mit binären Zeichenfolgen der Länge n . Ich kann L mit einer Booleschen Schaltung C mit n Eingängen und einem Ausgang so beschreiben, dass C ( w ) wahr ist, wenn w ∈ L ist : Dies ist bekannt.$L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

Ich möchte jedoch mit einer Booleschen Schaltung C ' mit n Ausgängen und einer bestimmten Anzahl von Eingängen, beispielsweise m, darstellen , so dass die Menge der Ausgangswerte von C ' für jeden der 2 m möglichen Eingänge genau L ist .$L$$C'$$n$ $m$$C'$$2^m$$L$

Gegeben , wie kann ich eine solche Schaltung finden C ' von minimaler Größe, und was ist die Komplexität? Gibt es eine Beziehung zwischen bekannten Grenzen bezüglich der Größe von Schaltkreisen der ersten Art ( C ) und Schaltkreisen dieser zweiten Art ( C ' ) oder der Komplexität ihrer Suche?$L$$C'$$C$$C'$

(Beachten Sie, dass es eine Art Dualität im folgenden Sinne gibt: Wenn , kann ich leicht entscheiden, ob ein Eingangswort w in L ist, indem ich die Schaltung auswerte, aber es ist im Allgemeinen NP-schwer, ein Wort in L zu finden, indem ich finde eine Zuordnung, so dass die Ausgabe wahr ist. Bei C 'ist es ebenfalls NP-schwer zu entscheiden, ob ein Eingabewort w in L ist, weil ich sehen muss, ob eine Zuweisung w als Ausgabe ergibt , aber es ist leicht, ein Wort in zu finden L durch Auswerten der Schaltung an einem beliebigen Eingang.)$C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

Ich werde auf eine einfache Verbindung zu nichtdeterministischen Schaltkreisen hinweisen und kurz auf die kryptografische Härte eingehen.

Definieren Sie für die mit i m c ( S ) bezeichnete Bildkomplexität als die minimale Anzahl von Gattern in einer (Fanin-Zwei-, UND / ODER / NICHT) Booleschen Schaltung C : { 0 , 1 } m → { 0 , 1 } n, dessen Bild S ist . Die Frage fragt nach der Komplexität der Berechnung von i m c ( S ) bei einer Wahrheitstabellendarstellung von $S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$(eine Zeichenfolge mit einer Länge von ).$2^n$

$S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

$imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$$ncc(f) \leq dcc(f)$

$S$$dcc(S)$$ncc(S)$

Sie sollten sich dieses Papier von Kabanets und Cai ansehen. Ich werde die Zusammenfassung des Papiers zitieren:

$f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

$C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$$C'_i$$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$