Komplexität des vergleichenden unabhängigen Mengenentscheidungsproblems

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Betrachten Sie das folgende Problem:

Eingabe: (G1, G2) wobei G1 und G2 ungerichtete Graphen sind

Frage: Ist die Größe des maximalen unabhängigen Satzes von G1 mindestens so groß wie die Größe des maximalen unabhängigen Satzes von G2?

Dies scheint eine ziemlich natürliche Frage zu sein, und dennoch konnte ich keine Komplexitätsklasse finden, für die dieses Problem vollständig ist. Kennt jemand so etwas? Als Ausgangspunkt ist leicht ersichtlich, dass das Problem NP-schwer ist und in P mit Zugriff auf ein NP-Orakel mit vielen Abfragen enthalten ist.

cc.complexity-theory Daniel Grier
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Es ist auch co-NP-hart, in der Tat, wenn ein Graph und eine ganze Zahl , können Sie unter Verwendung eines dum mit einer maximalen unabhängigen Menge der Größe (z. B. einem Pfad der Länge ) eine Viel-Eins-Reduktion aus beiden erstellen NPC-Problem "Enthält einen unabhängigen Satz von size ?" und sein Komplement (Vertauschen von und ).

G_{1}

$G_1$

k

$k$

G_{2}

$G_2$

k

$k$

2 k

$2k$

G_{1}

$G_1$

\geq k

$\geq k$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

Marzio De Biasi

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Dieses Problem ist in der Tat für die Klasse der Polynomzeit-Turing-Maschinen mit Zugriff auf ein NP-Orakel mit vielen Protokollabfragen (auch als ) vollständig . Das Ergebnis erscheint in einem 2000 FST TCS-Artikel von Spakowski und Vogel mit dem Titel " Vollständigkeit: Ein klassischer Ansatz für neue Ergebnisse". Der dort vorgelegte Beweis und ein Beweis, zu dem ich unabhängig gekommen bin, stützen sich beide auf das -Komplettitätskriterium von Wagner ("Bounded Query Classes", SIAM Journal on Computing Archive, Band 19, Ausgabe 5, Oktober 1990). $\Theta_2^p$ $\Theta_2^p$ $\Theta_2^p$

Daniel Grier
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Ich scheine, Ihr Problem ist für die Klasse Turing-vollständig . Wie in der Frage erwähnt, wissen Sie bereits, dass es in diese Klasse fällt. Turing-Vollständigkeit zu zeigen, kann man feststellen , dass eine unabhängige Gruppe von Größe unter für ermöglicht es uns , (mit der Aufgabe als Oracle) , um zu bestimmen , ob der max unabhängige Menge in ist . Wenn wir dies mit der binären Suche nach wiederholen , können wir bestimmen ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$ $l$ $G_1$ $G_2$ $\leq l$ $1\leq l \leq n$ Größe des maximalen unabhängigen Satzes in . $exact$ $G_2$

Wenden Sie das Obige auf die Diagrammkomplemente an, um die genaue Größe der maximalen Clique in und nicht der unabhängigen Menge zu bestimmen . Nachdem wir die Größe der maximalen Clique bestimmt haben, können wir entscheiden, ob sie durch eine gegebene Zahl teilbar ist . Dann können wir das Ergebnis aufrufen, dass die Entscheidung, ob die maximale Cliquengröße eines Graphen durch eine gegebene Zahl teilbar ist, für vollständig ist (siehe Krentel, "Die Komplexität von Optimierungsproblemen", J. of Computer and System Sciences, 36 (1988/3), S. 490–509, Theorem 3.5) $G_2$ $k$ ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$

Während das referenzierte Ergebnis von Krentel die Vielfachheit des Problems in beweist, zeigt die obige Reduktion nur die Vollständigkeit von Turing, da wir in der binären Suche das Orakel mehrere nennen müssen ( ) mal. ${\mathsf{P}}^{\mathsf{NP}[O(\log n])]}$ $\log n$

Andras Farago
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Es scheint genauso einfach zu sein, alle NP-Orakelabfragen einfach in Instanzen dieses Problems zu codieren. Da dieses Argument mit jeder NPC-Sprache wiederholt werden kann, scheint es auch nichts über die Macht dieser Sprache zu verraten.

Daniel Grier

Sie haben Recht, ich habe übersehen, dass das gleiche Argument beispielsweise mit dem einfacheren Independent Set-Problem (oder mit jedem NPC-Problem) vorgebracht werden könnte. Interessanter wäre sicherlich zu zeigen, dass dieses Problem der vergleichenden unabhängigen Menge für die erwähnte Klasse um ein Vielfaches vollständig ist.

Andras Farago

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Ihr Problem ist auch viel ein schwere Implikationen zwischen NP - Instanzen.

Reduzieren Sie die rechte Seite der Implikation auf bequeme Weise auf eine unabhängige Menge und die linke Seite der Implikation auf eine unabhängige Menge, um sicherzustellen, dass das Diagramm keine unabhängige Menge haben kann, die größer als die Zielgröße ist. $\:$ (Reduzieren Sie beispielsweise auf CNF-SAT und wenden Sie diese Reduzierung dann an, obwohl eine allgemeine CNF-SAT-Instanz anstelle einer 3-SAT-Instanz vorhanden ist.) $\:$ Fügen Sie eine Anzahl isolierter Scheitelpunkte hinzu, die der Differenz zwischen den Zielgrößen und der Zielgröße
der jeweiligen Instanz entsprechen, und erhöhen Sie die Zielgröße dieser Instanz um
dieselbe Anzahl. $\:$ Dies ergibt offensichtlich eine äquivalente Instanz und macht die resultierenden Zielgrößen gleich. $\:$ Wenn die Zielgröße Null ist, geben Sie die leere Instanz Ihres Problems zurück.
Andernfalls fügen Sie dem Diagramm, das der Instanz auf
der rechten Seite der Implikation entspricht, [Zielgröße minus eins] isolierte Scheitelpunkte hinzu und verbinden Sie jeden von ihnen mit allen Scheitelpunkten, die waren dort
vor diesem Satz und kehren mit G1 gleich diesem Graphen und G2 gleich dem anderen Graphen zurück.

(Darüber hinaus können Ihre Probleminstanzen trivial vielfach
auf Konjunktionen von Implikationen zwischen NP-Instanzen reduziert werden .)

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