Können wir ohne Permutationen sortieren?

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Es ist bekannt, dass das Sortieren von Permutationen durch Transposition in , da die minimale Anzahl von Transpositionen, die zum Sortieren von erforderlich sind, genau . Dieser Begriff der "Inversionszahl" hat auch Anwendungen in der algebraischen Kombinatorik, zum Beispiel erlaubt er, mit einer Gitterstruktur zu versehen, die Permutoheder genannt wird und auf der schwachen Bruhat-Ordnung basiert. π S n i n v ( π ) = { ( i , j ) [ n ] × [ n ] : i < j  und  π ( i ) > π ( j ) } S nPπSnichnv(π)={(ich,j)[n]×[n]:ich<j und π(ich)>π(j)}Sn

Es kann aufschlussreich sein, das Problem gruppentheoretisch neu zu fassen. Wir erhalten eine Gruppe mit dem Generatorsatz und einem Mapping , und eine andere Gruppe auf die transitiv einwirkt, und wir wollen das folgende Problem lösen: gegeben , find eine minimale Länge so dass . Im Permutationsfall ist und die Menge der Transpositionen.Γ i G : Γ *G H G h H w Γ * i G ( w ) . h = 1 H G = H = S n ΓGΓichG:ΓGHGhHwΓichG(w).h=1HG=H=SnΓ

Frage: Gibt es andere Fälle dieses Problems, die effiziente Algorithmen zulassen?

NisaiVloot
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Nun, das Problem ist wahrscheinlich einfach, wennG=ichZrich
Mobius Knödel

Antworten:

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Ich habe keine definitive Antwort auf Ihre Frage, aber "Braid Sorting" scheint ein möglicher Kandidat zu sein. Entsprechend diesem Wikipedia-Eintrag können wir ihn wie folgt definieren. Sei eine Gruppe, und sei die Menge der Tupel so dass . Wenn wir die durch die Bewegungen erzeugte Zopfgruppe , können wir eine Aktion von über definieren, wir :XH(x1,,xn)Xnx1xn=1XGBnσichBnH

σich(x1,,xn)=(x1,,xich-1,xich+1,xich+1-1xichxich+1,,xn).

Das heißt, kombiniert den Effekt eines Swaps und einer Konjugation an den Positionen und . Es könnte möglich sein, dieses Problem in der Polynomzeit optimal zu lösen, was Ihre Frage beantworten würde.σichichich+1

NisaiVloot
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G=H=SnG=H=EINn

G=H=SnΓw

Yoshio Okamoto
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