Zählen Sie die Anzahl der Hamilton-Zyklen in kubischen Hamilton-Graphen?

Es ist schwer, in kubischen Hamilton-Graphen eine konstante Faktorapproximation des längsten Zyklus zu finden. Kubische Hamilton-Graphen haben mindestens zwei Hamilton-Zyklen.$NP$

Was sind die bekanntesten Ober- und Untergrenzen für die Anzahl der Hamilton-Zyklen in kubischen Hamilton-Graphen? Wie komplex ist es bei einem kubischen Hamilton-Graphen, die Anzahl der Hamilton-Zyklen zu ermitteln? Ist es # -hard?$P$

Das Zählen von Hamilton-Schaltkreisen in einem 3-regulären Hamilton-Diagramm ist wie folgt # P-vollständig.

Proof-Skizze . Die Mitgliedschaft in #P ist trivial, daher zeigen wir nur die # P-Härte.

Abschnitt 3 von Liśkiewicz, Ogihara und Toda [LOT03] zeigt, dass das Zählen von Hamilton-Kreisen in einem 3-regulären (und tatsächlich planaren) Graphen # P-vollständig ist. Darüber hinaus bildet ihre Reduktion von # 3SAT eine zufriedenstellende 3CNF-Formel auf Hamilton-Graphen ab. Daher können Sie # 3SAT auf das Zählen von Hamilton-Schaltkreisen in einem 3-regulären Hamilton-Diagramm reduzieren, indem Sie einer gegebenen 3CNF-Formel zunächst eine triviale Lösung hinzufügen und sie dann auf das Zählen von Hamilton-Schaltkreisen reduzieren, indem Sie die Reduktion in [LOT03] verwenden. QED .

[LOT03] Maciej Liśkiewicz, Mitsunori Ogihara und Seinosuke Toda. Die Komplexität des Zählens von selbstvermeidenden Schritten in Teilgraphen von zweidimensionalen Gittern und Hyperwürfeln. Theoretical Computer Science , 304 (1–3): 129–156, Juli 2003. http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

In meiner Arbeit "The travelling salesman problem for cubic graphs" ( J. Graph Algorithms and Applications 11 (1): 61-81, 2007 ) habe ich eine Obergrenze von für die Anzahl der Hamilton-Zyklen bewiesen, vermutete dies Die Grenze konnte auf 2 n / 3 verbessert werden , und es wurde eine Familie von Graphen mit genau 2 n / 3 gefunden, aus denen hervorgeht, dass die vermutete Grenze eng sein würde, wenn dies zutrifft. Heidi Gebauer ("Zur Anzahl der Hamilton-Zyklen in Graphen mit begrenzten Graden ", ANALCO 2008 ) verbesserte die Obergrenze auf 1,276 n .$2^{3n/8}$$2^{n/3}$$2^{n/3}$$1.276^n$

$2^{n/2}$

Einige Diagramme haben genau drei Hamilton-Schaltkreise:

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract

Beginnt man mit dem ebenen Graphen des Tetraeders, der genau drei Hamilton-Kreise enthält, und erstellt durch Abschneiden eines einzelnen Scheitelpunkts einen neuen planaren 3-zusammenhängenden Graphen, so erhält man einen neuen Graphen, der genau drei Hamilton-Kreise enthält. Wenn man weiterhin einen Scheitelpunkt auf einmal abschneidet, erhält man eine Familie von Graphen mit genau drei Hamilton-Kreisen.

Zusätzlicher Kommentar:

Es gab auch einige Arbeiten zur Frage, welche Graphen außer Zyklen genau einen Hamilton-Kreis haben:

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract

Eine sehr schöne Übersicht über Hamltionische Schaltkreise in speziellen Arten von Diagrammen, die einen Abschnitt enthält, der sich mit der Anzahl der Hamiltonschen Schaltkreise befasst und einige Probleme mit der obigen Übersicht behebt, ist:

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf