Eine rein graphentheoretische Erklärung der Reduktion von Unique Label Cover zu Max-Cut

Ich studiere die Unique Games Conjecture und die berühmte Reduktion von Khot et al. Auf Max-Cut. In ihrer Arbeit und anderswo im Internet verwenden die meisten Autoren (was für mich ist) eine implizite Äquivalenz zwischen der MAX-CUT-Reduktion und der Erstellung bestimmter Tests für lange Codes. Aufgrund meiner eigenen Unklarheit über diese Äquivalenz habe ich Schwierigkeiten, diesem Gedankengang zu folgen.

Aus diesen Darstellungen scheint auch klar zu sein, dass man die Reduktion rein grafisch beschreiben könnte, aber dass sich niemand zufällig oder bevorzugt dafür entscheidet, dies so zu tun. In diesen Vorlesungsskripten von O'Donnell weist er beispielsweise darauf hin, dass der Langcodetest einer natürlichen Definition der Kanten im Diagramm entspricht, das erstellt wird. Da diese Regel jedoch nicht festgelegt ist, scheint diese Regel von der Wahl eines Schnitts abzuhängen die boolesche Funktion zu definieren, die getestet wird, und es hat mich ziemlich verwirrt.

Also bitte ich jemanden, der die Reduktion "nur" graphentheoretisch erklärt. Ich denke, dies wird mir helfen, die Gleichwertigkeit zwischen den beiden Gesichtspunkten zu verstehen.

Lassen Sie mich sehen, ob ich dies auf hohem Niveau klarstellen kann. Angenommen, die UG-Instanz ist ein zweigeteilter Graph , Bijektionen { π e } e ∈ E , wobei π e : Σ → Σ und | Σ | = m . Sie wollen ein neues Diagramm zu konstruieren , H , so dass , wenn die UG - Instanz 1 - δ erfüllbar, dann H hat einen großen Schnitt, und wenn die UG - Instanz ist nicht einmal δ -satisfiable, dann$G = (V \cup W, E)$$\{\pi_e\}_{e \in E}$$\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$$|\Sigma| = m$$H$$1-\delta$$H$$\delta$ hat nur sehr kleine Schnitte.$H$

Der Graph enthält für jeden Scheitelpunkt in W eine Wolke von 2 m Punkten, die jeweils mit x ∈ { - 1 , 1 } Σ gekennzeichnet sind . Die Absicht ist, dass Sie in der Lage sein sollten, eine lange Codecodierung der Beschriftungen von W als einen Schnitt von H zu interpretieren . Denken Sie daran, dass Sie zum Codieren von σ ∈ Σ mit dem langen Code eine Boolesche Funktion f verwenden : { - 1 , 1 } Σ → { - 1 , 1 $H$$W$$2^m$$x \in \{-1, 1\}^\Sigma$$W$$H$$\sigma \in \Sigma$$f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$;; insbesondere ist es die Diktatorfunktion . Lassen Sie uns einen Schnitt S ∪ T (dh eine Bi-Partition der Eckpunkte) aus der Langcode-Codierung wie folgt erzeugen. Wenn w ∈ W eine Bezeichnung hat, die von der Booleschen Funktion f codiert wird , gehen Sie zur Scheitelpunktwolke in H , die w entspricht , und geben Sie in S alle Scheitelpunkte in der Wolke ein, die mit einem x gekennzeichnet sind, für das f ( x ) = 1 ist . Alle anderen gehen zu $f(x) = x_\sigma$$S\cup T$$w \in W$$f$$H$$w$$S$$x$$f(x) = 1$$T$. Sie können dies rückwärts tun, um allen basierend auf einem Schnitt von H boolesche Funktionen zuzuweisen .$w \in W$$H$

Um für die Reduktion zu arbeiten, müssen Sie in der Lage sein zu sagen , nur um den Wert eines Schnittes sucht $S\cup T$ , ob die Booleschen Funktionen zum Schnitt entsprechend der Nähe eines langen Codes sind codiert , von einem gewissen Zuordnung von Etikett zu , dass erfüllt viele der Beschränkungen der UG G . Die Frage ist also, welche Informationen wir aus dem Wert eines Schnitts S ∪ T erhalten . Betrachten Sie zwei beliebige Eckpunkte a mit der Bezeichnung x in der Wolke entsprechend w und b mit der Bezeichnung y in der Wolke entsprechend w $W$$G$$S \cup T$$a$$x$$w$$b$$y$$w'$(In der Reduktion betrachten wir nur , w ' in verschiedenen Wolken). Wir sagten, dass der Schnitt verwendet werden kann, um boolesche Funktionen f w und f w ' abzuleiten . Wenn es nun eine Kante ( a , b ) in H gibt , wird ( a , b ) genau dann geschnitten, wenn f w ( x ) ≠ f w ′ ( y $w$$w'$$f_w$$f_{w'}$$(a,b)$$H$$(a, b)$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$. Daher ist die Verwendung nur des Werts eines Schnitts, um festzustellen, ob die von ihm induzierten Booleschen Funktionen "gut" sind, dasselbe wie ein Test, bei dem bei gegebenen Booleschen Funktionen nur nach dem Bruchteil einer bestimmten Liste gefragt wird von Paaren ( ( w , x ) , ( w ' , y ) ) haben wir f w ( x ) ≠ f w ' ( y ) .$\{f_w\}_{w \in W}$$((w, x), (w', y))$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$

$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$$H$$w$$x$$w'$$y$$v\in V$$w, w'$$x,y \in \{-1, 1\}^n$$w$$x\circ \pi_{v,w}$$w'$$y \circ \pi_{v,w'}$$(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$$d$$x$$y$