Beispiel für einen logarithmischen Längenzeugen, der leichter zu überprüfen als zu finden ist

Eine einfache Beobachtung ist, dass, wenn ein Problem durch ein nichtdeterministisches Polynomzeitprogramm unter Verwendung von O ( log n ) nichtdeterministischen Bits (dh alle Zeugen sind logarithmisch lang) entscheidbar ist, A ∈ P ist .$A$$O(\log n)$$A \in \mathsf{P}$

Wenn man dann die Frage stellt: "Ist es einfacher, einen Zeugen zu verifizieren, als einen zu finden?" Für solche Probleme, und man betrachtet alle Polynomlaufzeiten als gleichwertig, lautet die Antwort nein, da man solche Zeugen in Polynomzeit finden kann, indem man alle potenziellen Zeugen durchsucht.

Was aber, wenn wir feinkörnige Unterscheidungen zwischen Polynomlaufzeiten berücksichtigen? Ich frage mich, ob es ein konkretes Beispiel für ein natürliches Problem in , bei dem Zeugen logarithmischer Länge leichter zu überprüfen als zu finden sind, wobei "einfacher" eine kleinere Polynomlaufzeit bedeutet.$\mathsf{P}$

Beispielsweise benötigen bekannte Algorithmen für die perfekte Übereinstimmung in Graphen eine Polynomzeit, jedoch mehr als Zeit in einem Graphen mit n Knoten. Bei einer Menge von n / 2 Knotenpaaren (einem Zeugen) ist es jedoch einfach, in der Zeit O ( n ) zu überprüfen, ob es sich um eine Übereinstimmung handelt. Die Anpassung selbst erfordert jedoch bei Ω ( n ) Bits zum Codieren.$O(n)$$n$$n/2$$O(n)$$\Omega(n)$

Gibt es ein natürliches Problem, das eine ähnliche (offensichtliche) Beschleunigung bei der Überprüfung im Vergleich zum Befund erzielt, bei dem der Zeuge eine logarithmische Länge hat?

$x$$n$

$O(n^2)$

$\log(n)$$i$$i$$x$$i$$x$$i$$n$$O(n \log n)$