Die Antwort ist ja. Angenommen , wir haben eine Faktorisierung Q = A ⋅ B .
Eine einfache Beobachtung ist, dass EIN und B disjunkt sein müssen (da wir für w ∈ A ∩ Bw2∈ Q ). Insbesondere kann nur eines von A , Bϵ enthalten . Wir können davon ausgehen , oBdA (da der andere Fall völlig symmetrisch ist) , dass ϵ ϵ B . Dann, da ein und b nicht in nicht leere Faktoren zerlegt werden können, müssen wir a , b ∈ A .
Als nächstes erhalten wir, dass einmbn∈ A (und ganz analog bmeinn∈ A ) für alle m , n > 0 durch Induktion auf m :
Für m = 1 müssen wir , da a bn∈ Q , a bn= u v mit u ∈ A , v ∈ B . Da u ≠ ϵ , muss v für einige k ≤ n bk . Aber wenn k > 0 ist , dann erhalten wir, da b ∈ A ist , b 1 + k ∈ Q , einen Widerspruch. Sok≤nk>0b∈Ab1+k∈Qv=ϵ undabn∈A .
Für den induktiven Schritt, da am+1bn∈Q haben wir am+1bn=uv mit u∈A,v∈B . Da wieder u≠ϵ haben wir entweder v=akbn für einige 0<k<m+1 oder v=bk für einige k<n . Aber im ersteren Fall istv nach der Induktionshypothesebereits inA , so dassv2∈Q Widerspruch ist. Im letzteren Fall müssen wirk=0 (dhv=ϵ ), dawirvonb∈Ab1+k∈Q . Sou=am+1bn∈A .
Betrachten wir nun den allgemeinen Fall von primitiven Wörtern mit r Abwechslungen zwischen a und b , dh w ist entweder am1bn1…amsbns , bm1an1…bmsans (für r=2s−1 ), am1bn1…ams+1 oderbm1an1…bms+1 (fürr=2s); wir können zeigen, dass sie alle inAindemwirInduktion aufr. Was wir bisher gemacht haben, betraf die Basisfäller=0undr=1.
Für r>1 wir eine andere Induktion für m1 , die in etwa so funktioniert wie die für r=1 oben:
Wenn m1=1 , dann ist w=uv mit u∈A,v∈B , und da u≠ϵ , hat v weniger als r Wechsel. Also ist v (oder seine Wurzel, falls v selbst nicht primitiv ist) nach der Induktionshypothese für r in A für einen Widerspruch wie oben, es sei denn, v = ϵ . So w = u ∈ A .rv=ϵw=u∈A
Wenn m1>1 in jeder Faktorisierung w=uv mit u≠ϵ , v entweder hat weniger Alternationen (und seine Wurzel ist in A außer wenn v=ϵ durch die Induktions Hypothese auf r ) oder einem kürzeren ersten Block (und ihre Wurzel ist in A, es sei denn, v=ϵ nach der Induktionshypothese zu m1 ). In jedem Fall bekommen wir , dass wir müssen v=ϵ , dh w=u∈A .
Q′:=Q∪{ϵ}Q=A⋅BABQ′A∩B={ϵ}a,bA∪B
aba∈Ab∈Bw∈Q′w=uvu∈A∖{ϵ}v∈B∖{ϵ}baAB
- ba∈Aababa,a∉Baba∈Aabab∈A⋅Baba∈BbabAbababa∈A⋅BBabab∈A⋅Bbababbab∉A∪Babab,babababab∈Aaba∈B(ba)4∈A⋅Bbabab∈Ba∈A(ab)3∈A⋅Bbabab∈A⋅B
- ba∈BbabBAabaABababaAB
Ich bin mir derzeit nicht sicher, wie ich darüber hinaus vorgehen soll. Es wäre interessant zu sehen, ob das obige Argument systematisch verallgemeinert werden kann.