Heuristiken zur Abschätzung der Effizienz von reduzierten geordneten binären Entscheidungsdiagrammen?

Reduziertes bestellt Binary Decision Diagrams (ROBDD) ist eine effiziente Datenstruktur für die Darstellung von Booleschen Funktionen mehreren Variablen . Ich möchte eine Vorstellung davon bekommen, wie effizient sie sind.$f(x_1,x_2,...,x_n)$

Zum Beispiel wissen wir für die Datenkomprimierung, dass Daten mit niedriger Entropie (einige Symbole erscheinen häufiger als andere, viele Wiederholungen) sehr gut komprimiert werden können, während vollständig zufällige Daten nicht komprimiert werden können.

Gibt es eine analoge Intuition, um abzuschätzen, wie effizient ROBDDs eine bestimmte Boolesche Formel darstellen können?

Ich habe zum Beispiel gehört, dass die Multiplikation von Bit-Zahlen nicht effizient dargestellt werden kann, die minimale ROBDD-Größe ist in n exponentiell . Kennen Sie ein intuitives Argument, das erklärt, warum dies der Fall ist?$n$$n$

Verwandte Frage: Intuition über die Effizienz von BDDs, die Zahlen berechnen (BDDs mit mehreren Terminals usw.)

Es gibt eine Beziehung zwischen der Breite eines OBDD für eine Funktion und der Kommunikationskomplexität eines Einweg-Kommunikationsprotokolls für die Best-Case-Partition von Variablen für f (siehe E. Kushilevitz und N. Nisan. Kommunikationskomplexität. Universität Cambridge Press, 1997 ).$f$$f$

Dies ist ein leistungsstarkes Werkzeug zum Nachweis von OBDDs mit exponentieller Größe für verschiedene Funktionen (zusammen mit Mitautoren haben wir diese Methode verwendet, um zu beweisen, dass Bipartiteness für OBDDs schwierig ist, siehe hier ). Wenn im Grunde eine OBDD mit einer Breite von höchstens w existiert , die f löst , dann ist κ b e s t ( f ) ≤ log w . Ich denke, dies ist intuitiver in Bezug auf die Kommunikationskomplexität zu denken als in Bezug auf OBDD.$\epsilon$$w$$f$$\kappa_{best}(f) \leq \log w$

$f(x_1,\ldots,x_n)$$b_1,\ldots,b_n$$b_k$$x_k$$b_{k-1}$$b_{k+1}$$b_n$$f$$f$$b_k$$b_{k-1}$

$x_1,\ldots,x_k$$1\le k\le n$$k$

$n$$f(x_1,\ldots,x_n)$$x_k$$k$$1,2,\ldots,k$$1$$k-1$$k$$k-1$$k$$k$$k+1$$1$$n$

$f$$g$$f$$m$$g$$n$$O(mn)$$O(m+n)$

Zur Berechnung von Zahlen sollten Sie sich MTBDDs (Multi Terminal BDDs) ansehen, eine Datenstruktur, die für die (probabilistische) Modellprüfung verwendet wird. Siehe zum Beispiel Darstellungen diskreter Funktionen, Sasao, Tsutomu; Fujita, Masahira (Hrsg.), Springer, 1996 , Kapitel 4, von Clarke et al. handelt von MTBDDs und Hybrid Decision Diagram.

In TAoCP 4 Faszikel 1 erwähnt Knuth dies ebenfalls

• $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$n$$\mathcal O(n^2)$$f$$n+1$$x_1+x_2+\dots+x_n \in \lbrace 0,1,2,\dots n\rbrace$$2^n$
• $g(x_1,x_2) := f(x_1,x_2,x_2)$

$f(x_1,x_2,x_3) := (2x_1 + 5x_2 + 3x_3 \ge 7)$$f$$(x_1 + x_2 + \dots + x_{10} \ge 7)$