Empfindlichkeit der Diagrammeigenschaften

In [1] zeigt Turan, dass die Empfindlichkeit (im Artikel als "kritische Komplexität" bezeichnet) einer Grapheneigenschaft streng größer als wobei die Anzahl der Eckpunkte im Graphen ist. Er geht weiter zu der Vermutung, dass jede nicht-triviale Grapheneigenschaft eine Sensitivität . Er erwähnt, dass dies für verifiziert wurde . Wurden bei dieser Vermutung Fortschritte erzielt?m≥m-1m≤$\lfloor {1\over 4} m \rfloor$$m$$\geq m-1$$m \leq 5$

Hintergrund

Sei eine binäre Zeichenkette in . Definiere für als die Zeichenkette, die aus durch Umkehren des -Bits erhalten wird. Definieren Sie für eine boolesche Funktion \ bis die Empfindlichkeit von bei als. Definieren Sie schließlich die Empfindlichkeit von als .{ 0 , 1 } n x i 1 ≤ i ≤ n x i t h f : { 0 , 1 } n { 0 , 1 } f x s ( f ; x ) : = | { i : f ( x ) ≠ f ( x i ) } | f s ( $x$$\{0,1\}^n$$x^i$$1 \leq i \leq n$$x$$i^{th}$$f: \{0,1\}^n$$\{0,1\}$$f$$x$$s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$$f$$s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

Eine Graph Eigenschaft ist eine Sammlung solcher Grafiken , dass , wenn und isomorph zu dann . Wir können uns eine Grapheneigenschaft als die Vereinigung von Eigenschaften wobei die Teilmenge von die aus Graphen mit Eckpunkten besteht. Weiterhin können wir uns eine Grapheneigenschaft als eine Boolesche Funktion für wobei . Wir können einen Graphen auf Vertices in einem binären Längenvektor kodieren G ∈ P G ' G G ' ∈ P P P m P m P m P m { 0 , 1 } $\mathcal P$$G \in \mathcal P$$G'$$G$$G' \in \mathcal P$$\mathcal P$$\mathcal P_m$$\mathcal P_m$$\mathcal P$$m$$\mathcal P_m$$\{0,1\}^n$$n = {m \choose 2}$$m$$n$ ; Jeder Eintrag im Vektor entspricht einem Paar von Eckpunkten, und der Eintrag ist wenn diese Kante im Diagramm vorhanden ist. Somit ist die Empfindlichkeit einer Graphen Eigenschaft seine Empfindlichkeit qua Boolesche Funktion.$1$

1. Turan, G., Die kritische Komplexität von Grapheneigenschaften, Information Processing Letters 18 (1984), 151-153.

Die Umfrage, auf die Suresh verwies, bringt einen Aufsatz von Wegener [1] zum Vorschein, der die Vermutung teilweise bestätigt. Es gilt für alle monotonen Diagrammeigenschaften und die Ungleichung ist eng (berücksichtigen Sie die Eigenschaft "Hat keine isolierten Eckpunkte"). Jüngste Ergebnisse sind ebenfalls willkommen.

1. Wegener, L. Die kritische Komplexität aller (monotonen) Booleschen Funktionen und monotonen Grapheneigenschaften. Information and Control , 67: 212 & ndash; 222, 1985.