Welche

Neil Immermans berühmtes Bild der Welt ist das folgende (zum Vergrößern klicken):

Seine Klasse "Wirklich machbar" beinhaltet keine andere Klasse; meine frage ist dann:

Was ist ein AC ^0- Problem, das als unpraktisch angesehen wird, und warum?

cc.complexity-theory circuit-complexity Michaël Cadilhac
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Möglicherweise ein Problem, das Schaltkreise der Tiefe 10 ^ {10 ^ 100} erfordert?

Tsuyoshi Ito

@ Ross: Ich denke nicht, weil er nicht "reale Welt" erwähnte und er fragte "warum"; Ich denke, dass mein vorheriger Kommentar zumindest das "Warum" beantwortet. Allerdings habe ich zugegebenermaßen kein Beispiel für "natürliche" Probleme, die in AC0 auftreten und Schaltkreise mit einer Tiefe von 10 ^ {10 ^ 100} erfordern.

Tsuyoshi Ito

Es gibt zahlreiche interessante Probleme der realen Welt, die in konstanter Zeit und konstantem Raum (in praktisch jedem Berechnungsmodell) gelöst werden könnten, aber die Menschen haben jetzt eine Idee, wie sie in der Praxis gelöst werden können. Extreme Beispiele sind die Berechnung bestimmter Konstanten. Wir könnten die richtige Antwort hart codieren (z. B. 0 oder 1), kennen die Antwort jedoch noch nicht.

Jukka Suomela

Jukka: Das sind Problemfälle. Diophantine Gleichungen (wie die von Fermat) sind als Klasse unentscheidbar, auch wenn einzelne Instanzen, für die wir uns entschieden haben, tatsächlich Schaltkreise mit konstanter Tiefe haben.

András Salamon

@ András: Wenn Sie Entscheidungsprobleme mit unendlich vielen "Ja" - und "Nein" -Instanzen bevorzugen: Lassen Sie

aus allen geraden Zahlen und

, wobei

L

$L$

x

$x$

x = 1

$x = 1$ wenn der weiße Spieler eine Gewinnstrategie im Schach hat, und ansonsten

. Trivialerweise gibt es eine sehr einfache Familie von Schaltkreisen, die

entscheidet , aber ich würde immer noch behaupten, dass es "unpraktisch" ist. Nicht weil die Rennstrecke riesig wäre, sondern weil das Entwerfen der Rennstrecke ein riesiger Rechenaufwand wäre ... Betrug? -)

x = 3

$x = 3$

L

$L$

Jukka Suomela

Antworten:

Wenn Sie ein Beispiel für eine AC ⁰ -Funktion wünschen , die die Tiefe erfordert und nicht mit AC ⁰ -Kreisen der Tiefe berechnet werden kann , probieren Sie die Sipser-Funktionen aus $d$ $d-1$ $S^{d,n}$ $d$ $d-1$

Also rechnen $S^{d,n}$ $d = 10^{10^{100}}$

$10^{10^{100}}$

Robin Kothari
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Das ist super, Danke! Vielleicht können Sie eine informelle Definition der Sipser-Funktionen hinzufügen? Ich wusste nichts über diesen Namen.

Michaël Cadilhac

@ Michaël: Leider habe ich keine gute intuitive Definition für die Sipser-Funktionen. Die Idee besteht darin, eine Funktion von d Quantifizierern so zu machen, dass keine Schaltung der Tiefe d-1 sie berechnen kann. Wir möchten, dass die d-Quantifizierer über eine sehr große Anzahl von Variablen quantifizieren. Es gibt einen schönen Artikel von Iddo Tzameret mit dem Titel "Håstad's Separation von Schaltkreisen mit konstanter Tiefe unter Verwendung von Sipser-Funktionen" ( itcs.tsinghua.edu.cn/~tzameret/SipserSwitching.pdf ), in dem die Funktionen formal auf Seite 7 definiert sind.

Robin Kothari

All diese Hierarchien sind bei polynomiellen Änderungen der Eingabegröße absichtlich robust. Jede Klasse in ihr kann also Funktionen enthalten, deren Komplexität beispielsweise n ^ {1000000000} ist, was theoretisch "machbar" wäre, aber sicher nicht praktisch. Dies werden jedoch höchstwahrscheinlich sehr künstliche Probleme sein. Insbesondere durch ein Zählargument existiert eine Familie von DNF-Formeln (= AC ^ 0 Tiefe 2 Schaltungen) der Größe n ^ 1000000, die kein Algorithmus berechnen kann, dessen Laufzeit kleiner als n ^ 999999 ist. (In einer einheitlichen Umgebung erwarten wir etwas Ähnliches, können es aber nicht beweisen.)

Noam
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Das Stopp-Problem, wenn die Eingabe in Unary dargestellt wird, liegt in AC ^ 0 und ist in der Realität dennoch nicht realisierbar. Ich bin mir nicht sicher, ob Sie das gemeint haben, aber es könnte sein, was Immerman gemeint hat.

Elad
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Ich vermute, die Klassen im Diagramm sind mit einem gewissen Begriff der Einheitlichkeit definiert. Andernfalls würde die Aufwärtsrichtung kein Containment darstellen, da P kein ungleichmäßiges AC ^ 0 enthält.

Robin Kothari

A C^{0}

$AC^0$

{0, 1}

$\{0,1\}$

{0, m a x; X, B I T, \leq, =}

$\{0,max; X,BIT,\le,=\}$

X

$X$

Punkt gut getroffen. Als Alternative könnte man nach Erdos das Problem vorschlagen, dass für jede Eingabe die Ramsey-Zahl für rote Sechs und blaue Sechs ausgegeben wird.

Elad,