Das Gewichteiner binären Zeichenkette ist die Anzahl der Einsen in der Zeichenkette. Was passiert, wenn wir daran interessiert sind, eine monotone Funktion an Eingängen mit wenigen zu berechnen?x ∈ { 0 , 1 } n
Wir wissen, dass die Entscheidung, ob ein Graph eine Klasse hat, für monotone Schaltkreise schwierig ist (siehe unter anderem Alon Boppana, 1987), aber wenn ein Graph beispielsweise höchstens k ^ 3 Kanten hat, ist es möglich, einen monoton begrenzten Tiefenschaltkreis von zu finden Größe f (k) \ cdot n ^ {O (1)}, die k- Klasse entscheidet .k 3 k
Meine Frage: Gibt es eine Funktion, die von einer monotonen Schaltung selbst bei Eingaben mit einem Gewicht von weniger als k schwer zu berechnen ist ? Hier bedeutet hart Schaltkreisgröße .
Noch besser: Gibt es eine explizite monotone Funktion, die schwer zu berechnen ist, selbst wenn wir uns nur um Eingaben mit den Gewichten und ?
Emil Jeřábek hat bereits beobachtet, dass bekannte untere Schranken für monotone Schaltkreise gelten, die zwei Klassen von Eingängen trennen ( cliques vs maximal -colorable graphs), so dass es möglich ist, dies auf Kosten einer gewissen Unabhängigkeit des probabilistischen Arguments zu bewerkstelligen arbeiten für zwei Klassen von Eingaben mit festem Gewicht. Dies würde dazu , dass k_2 eine Funktion von die ich vermeiden möchte.
Was wirklich gewünscht ist, ist eine explizite harte Funktion für und viel kleiner als (wie im Rahmen der parametrisierten Komplexität). Noch besser, wenn .
Beachten Sie, dass eine positive Antwort für eine exponentielle Untergrenze für beliebige Schaltungen implizieren würde.
Update : Diese Frage ist möglicherweise teilweise relevant.
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Antworten:
Unter besonderer Berücksichtigung eines Teils der Frage (z. B. für = 1, = 2) untersuchte Lokam in diesem Artikel die "2-Schicht" -Funktionen und beweist, dass starke untere Schranken für sie verallgemeinert werden können, daher ist dies ein sehr hartes offenes Problem in Bezug auf die grundlegende Trennung von Komplexitätsklassen und jede solche Konstruktion / explizite Funktion wäre ein Durchbruch; aus dem Abstract:k1 k2
auch wie in seinen Kommentaren behandelt SJ diesen ähnlichen Fall in seinem Buch im Abschnitt über die Sternkomplexität von Graphen in Abschnitt 1.7.2.
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