Warum ist das Integral Null?

Ich frage mich, warum unter der Annahme, dass dann ?$\omega \gg \frac{1}{T}$$\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$

Da das Integral wie von bis und nach dem Einstecken des Werts erhalten wir:$\frac{\cos(\omega t)}{w}$$0$$T$

Wenn Sie über Telekommunikation sprechen, gehen wir vermutlich von hohen Frequenzen aus. Wenn das der Fall ist:

• $\frac{1}{T} = f$
• $\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$ reicht von bis . Wenn Sie dies durch eine große Zahl teilen, erhalten Sie ungefähr Null. Um Ihnen eine Vorstellung zu geben: Für eine Frequenz um (die als "extrem niedrig" angesehen wird ) beträgt das Ergebnis MAXIMAL .$0$$+2$
$1\;\text{kHz}$$0.002$

Durch Erhöhen der Frequenz werden mehr Schwingungsperioden in das Integrationsintervall eingefügt.

Da das Integral eines Sinus über eine Periode Null ist, sollten wir nur die "unvollständige" Periode am Ende des Integrationsintervalls berücksichtigen.

Wenn wir die Frequenz erhöhen, wird der Bereich dieser unvollständigen Periode immer dünner (was das im Determinator erklärt).$\omega$

Wenn ich einige Werte einstecke, erhalte ich Folgendes:

$T = 1$

Ergebnis$\omega \rightarrow$

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Jetzt bin ich nicht sicher , welche Größenordnung bedeutet und wie klein das Ergebnis sein muss berücksichtigt werden ≈ 0 , aber es neigt dazu , Null zu erhalten , wenn es viel größer ist.$>>$$\approx 0$

Was sind die typischen Werte für und T, die Sie betrachten?$\omega$

Update (wegen der Kommentare):

Wie FMarazzi recht gut erklärt hat, gibt es eine obere Grenze für den Fall, dass -1 ist, also haben Sie $\cos(\omega T)$ , das ist das absolute Maximum, das Sie jemals für ein T erhalten werden.$\frac{2}{\omega}$

Wenn Sie also den Wert für T wählen, erhalten Sie in gewisser Weise das Maximum für ein gegebenes die Tabelle wird:$\omega$

maximal möglicher Wert$\omega \rightarrow$

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

Und so weiter. Ich weiß nicht, in welchem ​​Kontext die Annäherung verwendet wird, aber wie aus den Kommentaren hervorgeht, handelt es sich um Kommunikationssysteme, und ich vermute, dass es sich nicht um einen UART mit 9600 Baud handelt, sondern um etwas wie Ethernet oder schnellere Dinge liegt in der Größenordnung von 10 7 oder höher, wofür das Ergebnis des Integrals klein wird und wahrscheinlich nicht zu den anderen interessierenden Begriffen beiträgt.$\omega$$10^7$

$\omega$$T$

Ich vermute, dass mehr Kontext erforderlich ist, um richtig zu verstehen, was gemeint ist.

$\approx 0$$\approx 0$$T$$T$$\omega$