Warum wird bei der Berechnung der Durchschnittsleistung der quadratische Mittelwert verwendet und nicht einfach der Durchschnitt von Spannung / Strom?

$$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$$ wobei der effektive Strom ist. Für Leistungsdurchschnitt liegendes muß durchschnittlicher Strom, so dass ich , dass der effektive Strom ist der durchschnittliche Strom am vermutend.$I_{\text{eff}}$$I$

In diesem Fall, warum ist nicht einfach$I_{\text{eff}}$

$$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$$

Stattdessen ist es so definiert:

$$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$$

Die Verwendung dieser beiden Ausdrücke zur Berechnung von führt daher zu unterschiedlichen Antworten.$P$

Warum ist das so? Es ergibt keinen Sinn für mich. Ich kann nur vermuten, dass ich den Effektivstrom als Durchschnittsstrom falsch interpretiere. Wenn dies jedoch nicht der Fall ist, sehe ich nicht, wie die Durchschnittsleistung sein kann, wenn nicht der Durchschnittsstrom ist.$P$$I_{\text{eff}}$

Nehmen Sie ein einfaches Beispiel, in dem die Summen trivial sind. Ich habe eine Spannung, die in 50% der Fälle an und in 50% der Fälle aus ist. Es ist 10V, wenn es eingeschaltet ist. Die durchschnittliche Spannung beträgt somit 5V. Wenn ich einen Widerstand von 1 Ohm daran anschließe, verbraucht er 100 W, wenn er eingeschaltet ist, und 0 W, wenn er ausgeschaltet ist. Die durchschnittliche Leistung beträgt somit 50W.

Lassen Sie jetzt die Spannung die ganze Zeit an, aber machen Sie es 5V. Die durchschnittliche Spannung beträgt immer noch 5 V, aber die durchschnittliche Leistung beträgt nur 25 W. Hoppla.

Oder nehmen wir an, ich habe die Spannung nur in 10% der Fälle, aber sie beträgt 50V. Die durchschnittliche Spannung beträgt wieder 5 V, aber die Leistung beträgt 2500 W im eingeschalteten Zustand und 0 W im ausgeschalteten Zustand, also 250 W im Durchschnitt.

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In der Realität müssen Sie zur Berechnung der Leistung im Allgemeinen (Momentanspannung) * (Momentanstrom) über einen Zeitraum der Wellenform integrieren, um den Durchschnitt zu erhalten (oder von 0 bis zu einer bestimmten Zeit t, wie in Ihrem Beispiel, um die Leistung über ein bestimmtes Intervall zu ermitteln). .

Wenn (und es ist ein großes wenn) die Last ein fester Widerstand R ist , können Sie sagen, dass v = i * R, so dass die Momentanleistung i ^ 2 * R ist, und Sie können dann i ^ 2 über den Zeitraum integrieren, um die " Effektivstrom "und später mit R multiplizieren (da es fest ist, geht es nicht in das Integral ein).

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RMS-Strom ist nicht besonders nützlich, wenn die Last nichtlinear ist, wie eine Diode. Es kann nützlich sein, um Verluste in so etwas wie einem Kondensator mit einem bestimmten ESR zu analysieren. Die Verluste (und der daraus resultierende Erwärmungseffekt, der die Lebensdauer des Kondensators verkürzt) sind proportional zum Effektivstrom und nicht zum Durchschnitt.

Damit die Leistung durchschnittlich ist, muss ich Durchschnittsstrom sein, also vermute ich, dass der effektive Strom der Durchschnittsstrom ist.

Kurz gesagt, die durchschnittliche Spannung x der durchschnittliche Strom entspricht nur der durchschnittlichen Leistung, wenn die Spannung und der Strom Gleichstromgrößen sind. Denken Sie an das folgende Beispiel:

Wenn Sie 230 V Wechselstrom von Ihrer Netzsteckdose an ein Heizelement anschließen, wird es warm oder sogar heiß. Es kostet Kraft, die Ihnen in Rechnung gestellt werden kann. 230 V AC ist eine Sinuswelle und alle Sinuswellen haben einen Durchschnittswert von Null. Der resultierende Strom, der durch das Heizelement fließt, ist ebenfalls eine Sinuswelle mit einem Durchschnittswert von Null.

Die Verwendung von Durchschnittsspannung x Durchschnittsstrom ergibt also eine Durchschnittsleistung von Null, und dies ist eindeutig falsch. Es ist die Effektivspannung x der Effektivstrom, die eine aussagekräftige Antwort liefert (unabhängig davon, ob es sich um Gleichstrom oder Wechselstrom handelt).

Sie müssen zu den Grundlagen zurückkehren und sich fragen, was Leistung ist - es ist Spannung x Strom und dies sind Momentanwerte, die miteinander multipliziert werden. Dies führt zu einer Leistungswellenform wie folgt:

Aufgrund des Multiplikationsvorgangs weist die Leistungswellenform jetzt einen Durchschnittswert ungleich Null auf . Wenn der Lastwiderstand dann 1 Ohm beträgt, ist die Amplitude des Stroms gleich der Amplitude der angelegten Spannung, so dass die Leistung der Durchschnitt von .$v^2$

Dies lässt uns sagen, dass die Leistung the mean of the square of voltage(oder der Strom) ist. Wenn wir in diesem Beispiel 1 Ohm gewählt haben, können wir auch sagen, dass die effektive Spannung, die diese Leistung erzeugt , der Effektivwertsquare root of the mean of the voltage squared oder der Effektivwert ist.

Für eine Sinuswelle mit der Spitzenamplitude ist die Spitze der Leistungswelle v 2 p k, und da die von einer quadrierten Sinuswelle erzeugte Leistungswelle auch eine Sinuswelle (mit der doppelten Frequenz) ist, ist dies der Durchschnitt (Mittelwert) ist: -$v_{pk}$$v^2_{pk}$

. Nehmen Sie dann die Quadratwurzel, um dieeffektiveSpannungzu erhalten, diewir erhalten$\dfrac{v^2_{pk}}{2}$ odervp$\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$$\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

Tatsächlich ist der Effektivwert einer Wechselspannung (oder eines Wechselstroms) der Äquivalentwert einer Gleichspannung (oder eines Gleichstroms), die in einer ohmschen Last den gleichen Heizeffekt erzeugt.

Nein, die durchschnittliche Spannung oder der durchschnittliche Strom sind irrelevant, aber die durchschnittliche Leistung ist König.

Der Teufel steckt im Detail, wenn Sie rechnen.

Angesichts dieser augenblicklichen Kraft $P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

$$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$$

$$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$$ $$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$$ $$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$$

$$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$$

$\frac{1}{T}$

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Mathematik nicht so funktioniert.

Die durchschnittliche Leistung ist nur das Integral der Arbeit über einen begrenzten Zeitraum, geteilt durch diesen Zeitraum. Für Ihren Fall ist jeder Moment der Arbeit:

$$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Integrieren Sie dies, um die Gesamtarbeit für eine endliche Zeitspanne zu erhalten, und dividieren Sie sie dann durch die endliche Zeitspanne, um sie in einen durchschnittlichen Leistungswert umzuwandeln. Oder:

$$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

$R_t$

$$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

But if you want to now construct some kind of fictional effective current that fits the $R\cdot I_{eff}^2$ model, then by simple inspection of the above equation it must be the case that:

$$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$$

It's just an equivalent substitution, right?

And then obviously:

$$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$$

If you start things so that $t_0=0$ and set $t_1=t$ then you get your own equation. It's that easy, really.

Stellen Sie sich vor, zwei Ströme fließen gleichzeitig durch Ihre Last:

• Gleichstrom von 1A
• Wechselstrom mit 1A Amplitude

Der Gesamtstrom sieht ungefähr so ​​aus:

Nun, wenn wir Ihre Formel anwenden für $I_{eff}$Wir erhalten 1A, als ob die Wechselstromkomponente keinen Strom erzeugt. Ich hoffe, Sie stimmen zu, dass dies noch weniger Sinn macht als die ursprüngliche Formel.

Erwägen $R=1\Omega$und und einen Strom von 1A für eine Sekunde und 10A für eine andere Sekunde. Was ist die durchschnittliche Leistung?

Offensichtlich ist es das

$$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$$

Lassen Sie uns das umschreiben:

$$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$$

Andererseits beträgt der durchschnittliche Strom 5,5 A, was eine "durchschnittliche Leistung" von 30,25 W ergibt.

Der Punkt ist, dass die Potenzformel das Quadrat des Stroms enthält, sodass der effektive Strom höher ist als nur der Durchschnitt des (absoluten) Stroms.

Lassen Sie mich dies allgemeiner formulieren: Die über eine Last zerstreute Momentanleistung P (t) ist ein Produkt (im mathematischen Sinne als Multiplikation) von V (t) und I (t). Oder I (t) * I (t) / R für diese Angelegenheit. Die durchschnittliche Leistung ist daher ein Durchschnitt [I (t) * I (t)] / R. Das Paradoxon ist in dem bekannten mathematischen Theorem, dass ein Durchschnitt eines Produkts variabler Funktionen nicht gleich dem Produkt ihrer Mittelwerte ist ,

[(V (t) I (t)]! = [V (t)] * [I (t)];

gleichwertig,

[I (t) ^ 2]! = [I (t)] * [I (t)]

Zur Veranschaulichung dieses grundlegenden Kalkülproblems wird angenommen, dass Sie eine Widerstandslast von 1 Ohm haben und die Spannung bei 10% Einschaltdauer, 10% Anstieg und 90% Spannungsfreiheit als 10 V gepulst wird. Die tatsächliche Verlustleistung beträgt 10 V * 10 A = 100 W für 10% des Arbeitszyklus und Null für den Rest des Arbeitszyklus. Die durchschnittliche Verlustleistung dieses Widerstands beträgt also 10W .

Wenn Sie nun die Mittelwerte separat mit separaten Messgeräten messen (oder sogar messen!), Wird der Durchschnitt [V] dieser gepulsten Wellenform als 1 V und der Durchschnitt von I als 1A angegeben. Wenn man die gemessenen Ergebnisse multipliziert, kann man zu dem Schluss kommen, dass die von diesem "Gerät" verbrauchte Leistung nur 1 W beträgt , was mit einem Faktor von 10 völlig falsch ist !!!

Dies ist ein typischer Fehler in vielen Disziplinen und Anwendungen. Zum Beispiel ist dieser Fehler auf viele falsche Behauptungen einiger magischer Warmwasserbereiter zurückzuführen, die mehr Leistung produzieren als die "verbrauchte Elektrizität", die normalerweise durch "Kaltfusion" oder eine andere BS erklärt wird. Es gibt sogar Patente für diese "gepulsten Heizungen".