Unendliches thermisches Stromrauschen in einem Draht?

Die thermische Rauschdichte kann wie folgt geschrieben werden:

ndI=

$$nd_V=\sqrt{k_BTR}$$ oder Die Einheiten beginnen mit V / sqrt (Hz) oder A / sqrt (Hz). Bedeutet dies für den zweiten Ausdruck eine unendliche Stromrauschdichte für einen idealen Draht? Das scheint seltsam! Ich verstehe, dass die endgültige Rauschleistung nicht vom Widerstand abhängt, aber dennoch scheint eine unendliche Rauschdichte absurd. $$nd_I=\sqrt{\frac{k_BT}{R}}$$

Das sieht ein bisschen hässlich aus, aber wenn wir ein bisschen mehr darüber nachdenken, was ein Draht mit null Widerstand ist, können wir vielleicht herausfinden, warum wir physikalisch nicht unrealistisch werden.

Supraleiter

Eine Möglichkeit, einen Widerstand von Null zu erhalten, wäre die Verwendung von Supraleitern. Dies sind sehr seltsame Materialien - sie haben enorme Quanteneffekte, aber die Johnson-Nyquist-Rauschtheorie, die Sie in Ihrer Frage verwenden, ist halbklassisch, sodass wir vernünftigerweise erwarten können, dass sie nicht funktioniert, wenn viele Quanten-Dinge vor sich gehen.

Tatsächlich gibt es in einem Supraleiter zwei leitende "Flüssigkeiten", die sich den gleichen Raum teilen. Eine, die normale Flüssigkeit, besteht aus Elektronen und wirkt wie Elektronen in einem normalen Material. Dies hat thermische Schwankungen, genau wie diejenigen, die Johnson Nyquist-Rauschen verursachen. Das andere, Superfluid genannt, besteht aus Kupferpaaren und hat keinen Widerstand. So wird jeder externe Strom oder jede externe Spannung kurzgeschlossen (was Supraleiter zu perfekten Leitern macht). Es wird aber auch die Rauschspannung der normalen Flüssigkeit kurzgeschlossen. Jede thermische Schwankung im Material wird durch eine Bewegung im Superfluid sofort und vollständig aufgehoben, sodass kein Johnson-Nyquist-Geräusch auftritt. Es mag durchaus andere Geräusche geben, aber das ist ein ganz anderes Thema.

Keine Supraleiter

So können wir aus normalen Materialien einen Draht ohne Widerstand herstellen, was natürlich unmöglich ist. Das Problem ist also nicht, dass der Strom unendlich ist, sondern dass er gegen unendlich tendiert, wenn wir den Widerstand verringern. Um zu sehen, ob dies sinnvoll ist, müssen wir darüber nachdenken, was es wirklich bedeutet, den Widerstand auf Null zu reduzieren.

Der Widerstand eines Materialblocks ist eine materialabhängige Konstante multipliziert mit der Länge geteilt durch die Querschnittsfläche. Die zwei Möglichkeiten, einen Widerstand von Null zu erhalten, sind dann:

1. Um die Fläche auf unendlich zu vergrößern. Ein unendlicher Rauschstrom in einem unendlichen Bereich erscheint vernünftig. Die Stromdichte ist dieselbe wie für einen endlichen Materialblock.

2. Um die Länge auf Null zu reduzieren. Dieser ist etwas kniffliger und ich bin mir nicht sicher, ob meine Lösung korrekt ist. Aber ich denke, das läuft auf eine Geometriesache hinaus. Wenn der Schleifenumfang gegen Null tendiert, muss auch die Dicke des Drahtes gegen Null tendieren, oder es ist keine Drahtschleife mehr. Dies bedeutet, dass es einen minimalen Widerstand gibt, bei dem Sie den Johnson-Nyquist-Satz vernünftigerweise anwenden können. Darüber hinaus haben Sie eine Kupferplatte mit einem Loch darin, und Sie müssten das anders analysieren. Es gibt ein ganzes Teilgebiet der Physik, das Fluktuationselektrodynamik genannt wird, und Sie würden wahrscheinlich irgendwo dort die detaillierte Antwort finden.

Das scheint seltsam! Ich verstehe, dass die endgültige Rauschleistung nicht vom Widerstand abhängt, aber dennoch scheint eine unendliche Rauschdichte absurd.

Nein, es ist weder seltsam noch absurd, weil Sie 0 durch 0 teilen:

Sie erhalten Strom aus dem Strom durch Quadrieren und Multiplizieren mit R, sodass Sie ein R im Zähler und ein R im Nenner erhalten und beide sich aufheben:

$\require{cancel}P = \Delta f(nd_I)^2R = \Delta f \sqrt{\frac{k_B T}{R}}^2 R = \Delta f\frac{k_B T}{\cancel{R}} \cancel{R} = \Delta fk_BT$
, das von R unabhängig ist.

Selbst wenn die aktuelle Rauschdichte unendlich ist, ist dies bei der Rauschleistung nicht der Fall .

immer noch unendliche Geräuschdichte scheint absurd.

Sie nehmen , was genauso absurd ist. Aber ja, wenn Sie die geringste Spannung in einem System ohne Widerstand haben, erhalten Sie unendlichen Strom. Ohm.$R=0$

Die thermische Rauschformel wird jedoch tatsächlich durch den Spannungsfall abgeleitet (dh Sie erhalten eine Schwankung des Energieniveaus von Ladungen (Elektronen), die als Spannungsschwankung beobachtet werden kann). In einem Supraleiter bricht diese Sichtweise des thermischen Rauschens zusammen.

Es scheint seltsam. In der Tat ist es falsch! Jack B machte den entscheidenden Punkt : Johnson-Nyqvist-Rauschen ist ein semiklassisches Modell, dh es ist eine vereinfachte Näherung, die gut an der Grenze von Großsystemen (dh mehr als ein paar hundert Atomen) bei hoher Temperatur (die in Festkörperphysik bedeutet grob, nicht mit flüssigem Helium gekühlt ). Unter diesen Bedingungen sieht das messbare Verhalten „klassisch aus“, da thermische Schwankungen die Phasenkohärenz zerstören, die erforderlich wäre, damit makroskopische Quantenphänomene wie Supraleitung oder Quantenhall-Effekt auftreten. Es kommt vor, dass wir in der Elektronik aus offensichtlichen praktischen Gründen grundsätzlich immer in diesem klassischen Regime arbeiten.

Dieselben thermischen Schwankungen (Phononenkollisionen) verursachen jedoch zwangsläufig auch einen spezifischen Widerstand ungleich Null. Sie können also nur die Grenze indem Sie entweder den Querschnitt unendlich groß machen (in diesem Fall sind die Ströme, wie Jack sagte, völlig vernünftig werden zu unendlich, wie die Masse und alles andere der Fall ist) oder durch die Länge zu reduzieren auf praktisch Null ist , in dem Fall , dass Sie nicht über die groß angelegte System, das für die semiklassische Beschreibung notwendig ist.$R=\tfrac{\rho\cdot\ell}{A}\to 0$$A$$\ell$

Lesen Sie mehr über die Ultraviolett-Katastrophe , die in Bezug auf die Strahlungsenergie ein weitgehend analoges Paradoxon darstellt und in der Tat einer der Anreize für die Entwicklung der Theorie der Quantenmechanik war, da die klassische Physik offensichtlich falsche Ergebnisse lieferte.