Mathematische Modellierung einer RC-Schaltung mit linearem Eingang

8

Ich habe viele Dokumente und Bücher gefunden, die anhand der folgenden Gleichung modellieren, wie sich die Spannung an einem Kondensator innerhalb einer transienten RC-Schaltung verhält:

VC=VMAX(1et/RC)

Leider habe ich keine Ressource gefunden, die beschreibt, wie eine RC-Schaltung mathematisch modelliert werden kann, um eine linear ansteigende Spannungsquelle als Eingang bereitzustellen.

Der Versuch, VMAX in der obigen Gleichung durch eine lineare Gleichung zu ersetzen, führt zu einer Gleichung, die gegen die lineare Gleichung konvergiert, was bedeutet, dass der Strom nach einer Zeit (I = (VS-VC) / R) aufhören würde. Dies ist offensichtlich falsch, da wir sehen sollten, dass der aktuelle Ansatz mit der Zeit einen konstanten Wert hat, wie gegeben durch:

IC=CdVdt

Ich bin mir völlig bewusst, wie sich die Spannung an einem Kondensator bei einer linear ansteigenden Spannungsquelle verhalten würde. Es gibt viele Simulatoren, die dies anzeigen, und ich kann mir sogar eine physikalische Erklärung für die Ergebnisse vorstellen. Was ich wissen möchte, ist, wie man die Spannung über einem Kondensator mit einer linear ansteigenden Spannungsquelle mathematisch modellieren kann, ähnlich wie die Gleichung, die die Spannung über einem Kondensator in Transienten modelliert.

CTXz
quelle
3
Die erste Gleichung, die Sie verwenden, ist die spezielle Lösung für eine RC-Reihenschaltung mit einer festen Spannungsquelle mit (vor) definierten Anfangsbedingungen. In Ihrem Fall sollten Sie mit dem Zeichnen Ihrer Schaltung beginnen, die Kirchhoffschen Gesetze erneut anwenden und die ODE lösen. Also keine Substitutionen in der falschen Lösung .
Huisman
1
Die erste Gleichung ist das Ergebnis der Lösung von KVL für eine Schrittfunktion. Sie müssen für den Rampenfall lösen.
Mattman944
Für ein allgemeines Eingangssignal und ein System erster Ordnung müssen Sie die Differentialgleichung mit der Integrationsfaktormethode lösen .
Chu
Ihre erste Gleichung ist die Impulsantwort der RC-Schaltung. Nehmen Sie die Faltung der Impulsantwort und Ihrer linearen Funktion. Das gibt Ihnen den Ausgang der Schaltung.
user4574

Antworten:

13

Leider habe ich keine Ressource gefunden, die beschreibt, wie eine RC-Schaltung mathematisch modelliert werden kann, um eine linear ansteigende Spannungsquelle als Eingang bereitzustellen.

Bei dieser Antwort geht es darum, die Schaltung in eine Übertragungsfunktion im Frequenzbereich umzuwandeln und dann diesen TF mit der Laplace-Transformation des Eingangs zu multiplizieren, um das Frequenzbereichsäquivalent des Ausgangs zu erhalten. Schließlich wird eine umgekehrte Laplace-Operation ausgeführt, um die Zeitbereichsformel für die Ausgabe zu erhalten.

Die Laplace-Transformation eines Tiefpass-RC-Filters lautet:

11+sRC

Dies ist die Frequenzbereichsübertragungsfunktion, wenn Sie diese mit dem Frequenzbereichsäquivalent einer Rampe ( 1) multiplizieren1s2 ) Sie erhalten die Frequenzbereichsausgabe: -

1s2(1+sRC)

Bei Verwendung einer Reverse-Laplace-Übertragungstabelle hat diese eine Zeitbereichsausgabe von: -

t+RCe(tRC)RC

Siehe Punkt 32 in der Tabelle oder, wenn die Formel keinen offensichtlichen Tabelleneintrag hatte, können Sie einen inversen Laplace-Rechner verwenden, der sie numerisch wie diesen löst .

Mit dem Taschenrechner können Sie die Formel erstellen und einen numerischen Wert für RC eingeben. Ich habe im obigen Beispiel einen RC-Wert 7 verwendet, damit ich sehen konnte, wie sich diese Zahl zur endgültigen Antwort ausbreitete. Die letzte Hürde besteht darin, diesen propagierten Wert von 7 durch RC zu ersetzen. Mit anderen Worten, es ist ein numerischer Löser, aber dennoch ein sehr nützliches Werkzeug: -

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Andy aka
quelle
2
Ausgezeichnete Lösung, aber Sie sollten eine Konstante für die Rampenrate hinzufügen. Vielleicht: vr = Vr * t
Mattman944
@ Mattman944 ​​vielleicht sollte ich aber ich nahm eine Rampe von 1 Volt pro Sekunde an!
Andy aka
Ja, natürlich 1 V / s, aber das OP möchte wahrscheinlich eine allgemeine Lösung.
Mattman944
3
@ Mattman944 ​​Ich denke, unsere kleine Diskussion wird genug Hinweise auf das OP geben.
Andy aka
7

(IF)IF

In Anbetracht der von Ihnen beschriebenen Schaltung lautet die Schleifengleichung:

vi=vR+vC

vi=iR+1Cidt

Differenzieren:

dvidt=Rdidt+iC

Neuanordnung:

didt+iRC=1Rdvidt

τ=RC

didt+iτ=1Rdvidt

vivi=KtK

dvidt=KIF

didt+iτ=KR

IF

IF=e1τdt=etτ

Deshalb:

ietτ=KRetτdt+A

ietτ=KCetτ+A

i=KC+Aetτ

A=KC

i=KC(1etτ)

und

vc=K(tτ+τetτ)

.................................................. .................................................. ..................................................

IF

Für die ODE:

dydt+Py=QPQt

  1. IF=ePdt

  2. y.IF=Q.IFdt+AA

  3. A

dydt+2y=3y(0)=5

P=2,Q=3

Deshalb

IF=e2dt=e2t

Daher

ye2t=3e2tdt+A

ye2t=32e2t+A

e2t

y=1.5+Ae2t

Anwenden der Anfangsbedingung:

y(0)=5=1.5+AA=3.5

y=1.5+3.5e2t

Chu
quelle
3
(+1) Aber Sie sollten Ihre Abkürzungen etwas näher erläutern: Was ist die IF-Methode zur Lösung einer Differentialgleichung? Ich kenne dieses Akronym nicht und wenn ich es direkt google, wird kein direkter Link angezeigt. Wenn ich Ihre Berechnungen sehe, kann ich nur vermuten, dass Sie "Integrierender Faktor" meinen , aber ich glaube nicht, dass die Abkürzung weit verbreitet ist. Sie sollten daher auf eine Quelle verweisen, um die Antwort in sich geschlossener zu gestalten (wenn das OP das nicht kennt Abkürzung oder die Technik, bei der er sich fragen könnte, warum Sie das tun, was Sie tun.
Lorenzo Donati - Codidact.org
@ LorenzoDonati, vielen Dank für Ihre Kommentare. Ich habe die Integrationsfaktormethode bearbeitet.
Chu
2

Kann auch einen anderen Ansatz hinzufügen, der auf Chus Empfehlung basiert:

Die Standardform für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung lautet:

dydt+Pxy=Qx

Wenn Sie solche Dinge einrichten können, ist Ihr Integrationsfaktor (der eine gute Möglichkeit ist, diese zu lösen):

μ=ePxdx

Dann ist die Lösung:

y=1μμQxdx

Angenommen, die folgende Schaltung:

schematisch

simulieren Sie diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab

Dann erhalten Sie vom Knoten:

V(t)R+dV(t)dtC=Vs(t)RdV(t)dt+1RCV(t)=Vs(t)RC

Welches ist jetzt in Standardform.

Pt=1RCQt=1RCVs(t)μ=etRC

V(t)=etRCetRC1RCVs(t)dt=1RCetRCVs(t)etRCdt

Vs(t)

Jonk
quelle
VtV(t)
@ Huisman Ich stimme zu. Ich werde die Änderung vornehmen.
Jonk
0

Was Sie als Vmax geschrieben haben, kann für Ihre Spannung geändert werden, die sich im Laufe der Zeit ändert, solange sie nicht zu viel schneller als die Zeitkonstante des Kondensators ist, der Ihnen ein anständiges Modell geben sollte.

Wenn Sie eine genauere Antwort wünschen, können Sie Ihre Eingangsspannung mit Fourier / Laplace transformieren und die Reaktanz für den Kondensator bei jeder Frequenz berechnen, die Sie erhalten, lösen und addieren, um die endgültige Spannung zu erhalten.

Die zweite Option, die eine viel genauere Lösung ergibt, ist viel komplexer als die einfache erste, die ich vorgeschlagen habe. Sie kann nur dann eine genaue Lösung liefern, wenn die Spannung viel langsamer ansteigt als das Laden des Kondensators.

edit: Wie in einigen Kommentaren erwähnt, ist es auch möglich, die Differentialgleichung für eine Rampe anstelle eines Schritts zu lösen.

Juan
quelle