Mathematische Modellierung einer RC-Schaltung mit linearem Eingang

Ich habe viele Dokumente und Bücher gefunden, die anhand der folgenden Gleichung modellieren, wie sich die Spannung an einem Kondensator innerhalb einer transienten RC-Schaltung verhält:

$$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$$

Leider habe ich keine Ressource gefunden, die beschreibt, wie eine RC-Schaltung mathematisch modelliert werden kann, um eine linear ansteigende Spannungsquelle als Eingang bereitzustellen.

Der Versuch, VMAX in der obigen Gleichung durch eine lineare Gleichung zu ersetzen, führt zu einer Gleichung, die gegen die lineare Gleichung konvergiert, was bedeutet, dass der Strom nach einer Zeit (I = (VS-VC) / R) aufhören würde. Dies ist offensichtlich falsch, da wir sehen sollten, dass der aktuelle Ansatz mit der Zeit einen konstanten Wert hat, wie gegeben durch:

$$I_C=C\frac{dV}{dt}$$

Ich bin mir völlig bewusst, wie sich die Spannung an einem Kondensator bei einer linear ansteigenden Spannungsquelle verhalten würde. Es gibt viele Simulatoren, die dies anzeigen, und ich kann mir sogar eine physikalische Erklärung für die Ergebnisse vorstellen. Was ich wissen möchte, ist, wie man die Spannung über einem Kondensator mit einer linear ansteigenden Spannungsquelle mathematisch modellieren kann, ähnlich wie die Gleichung, die die Spannung über einem Kondensator in Transienten modelliert.

Leider habe ich keine Ressource gefunden, die beschreibt, wie eine RC-Schaltung mathematisch modelliert werden kann, um eine linear ansteigende Spannungsquelle als Eingang bereitzustellen.

Bei dieser Antwort geht es darum, die Schaltung in eine Übertragungsfunktion im Frequenzbereich umzuwandeln und dann diesen TF mit der Laplace-Transformation des Eingangs zu multiplizieren, um das Frequenzbereichsäquivalent des Ausgangs zu erhalten. Schließlich wird eine umgekehrte Laplace-Operation ausgeführt, um die Zeitbereichsformel für die Ausgabe zu erhalten.

Die Laplace-Transformation eines Tiefpass-RC-Filters lautet:

$$\dfrac{1}{1+sRC}$$

Dies ist die Frequenzbereichsübertragungsfunktion, wenn Sie diese mit dem Frequenzbereichsäquivalent einer Rampe ( 1) multiplizieren$\dfrac{1}{s^2}$ ) Sie erhalten die Frequenzbereichsausgabe: -

$$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$$

Bei Verwendung einer Reverse-Laplace-Übertragungstabelle hat diese eine Zeitbereichsausgabe von: -

$$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$$

Siehe Punkt 32 in der Tabelle oder, wenn die Formel keinen offensichtlichen Tabelleneintrag hatte, können Sie einen inversen Laplace-Rechner verwenden, der sie numerisch wie diesen löst .

Mit dem Taschenrechner können Sie die Formel erstellen und einen numerischen Wert für RC eingeben. Ich habe im obigen Beispiel einen RC-Wert 7 verwendet, damit ich sehen konnte, wie sich diese Zahl zur endgültigen Antwort ausbreitete. Die letzte Hürde besteht darin, diesen propagierten Wert von 7 durch RC zu ersetzen. Mit anderen Worten, es ist ein numerischer Löser, aber dennoch ein sehr nützliches Werkzeug: -

$\small (IF)$$\small IF$

$^*$

In Anbetracht der von Ihnen beschriebenen Schaltung lautet die Schleifengleichung:

$v_i=v_R+v_C$

$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt$

Differenzieren:

$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$

Neuanordnung:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

$\small \tau=RC$

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

$v_i$$v_i= \small Kt$$\small K$

$\large \frac{dv_i}{dt} = \small K$$\small IF$

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R}$

$\small IF$

$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}}$

Deshalb:

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A$

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A$

$i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}$

$\small A=-KC$

$i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}})$

und

$v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}})$

.................................................. .................................................. ..................................................

$\small IF$

Für die ODE:

$\frac{dy}{dt}\small +Py=Q$$\small P$$\small Q$$\small t$

1. $\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}$

2. $\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A$$\small A$

3. $\small A$

$\frac{dy}{dt}+2y=3$$\small y(0)=5$

$\small P=2,\:Q=3$

Deshalb

$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}$

Daher

$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A$

$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A$

$\small e^{2t}$

$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}$

Anwenden der Anfangsbedingung:

$\small y(0)=5= 1.5 + A$$\small A=3.5$

$y= 1.5 + 3.5e^{-2t}$

Kann auch einen anderen Ansatz hinzufügen, der auf Chus Empfehlung basiert:

Die Standardform für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung lautet:

$$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$$

Wenn Sie solche Dinge einrichten können, ist Ihr Integrationsfaktor (der eine gute Möglichkeit ist, diese zu lösen):

$$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$$

Dann ist die Lösung:

$$y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$$

Angenommen, die folgende Schaltung:

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab}

Dann erhalten Sie vom Knoten:

$$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$$

Welches ist jetzt in Standardform.

$P_t=\frac{1}{R\,C}$$Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)$$\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}$

$$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$$

$V_s\left(t\right)$

Was Sie als Vmax geschrieben haben, kann für Ihre Spannung geändert werden, die sich im Laufe der Zeit ändert, solange sie nicht zu viel schneller als die Zeitkonstante des Kondensators ist, der Ihnen ein anständiges Modell geben sollte.

Wenn Sie eine genauere Antwort wünschen, können Sie Ihre Eingangsspannung mit Fourier / Laplace transformieren und die Reaktanz für den Kondensator bei jeder Frequenz berechnen, die Sie erhalten, lösen und addieren, um die endgültige Spannung zu erhalten.

Die zweite Option, die eine viel genauere Lösung ergibt, ist viel komplexer als die einfache erste, die ich vorgeschlagen habe. Sie kann nur dann eine genaue Lösung liefern, wenn die Spannung viel langsamer ansteigt als das Laden des Kondensators.

edit: Wie in einigen Kommentaren erwähnt, ist es auch möglich, die Differentialgleichung für eine Rampe anstelle eines Schritts zu lösen.