Wie konvertiere ich einen Ausdruck von SOP nach POS und zurück in die Boolesche Algebra?

Wie konvertiere ich einen SOP-Ausdruck (Sum of Products) in das POS-Formular (Product of Sums) und umgekehrt in die Boolesche Algebra?

zB: F = xy '+ yz'

Ich denke, der einfachste Weg ist, in eine k-Map zu konvertieren und dann den POS zu bekommen. In Ihrem Beispiel haben Sie:

  \ xy
 z \  00    01    11    10
    +-----+-----+-----+-----+
 0  |     |  x  |  x  |  x  |
    +-----+-----+-----+-----+
 1  |     |     |     |  x  |
    +-----+-----+-----+-----+

In diesem Fall ergibt das Ausschließen der linken Spalte (x + y) und das Ausschließen der beiden unteren mittleren Kästchen (z '+ y'), was eine Antwort von (x + y) (z '+ y') ergibt.

F = xy '+ yz' liegt in SOP- Form vor

Dies kann auch mit einfachen Booleschen Algebra- Techniken wie folgt gelöst werden :

Anwendung des Verteilungsgesetzes : - F = ( xy ') + y . z '

F = ( xy ' + y) . ( xy '+ z'), das jetzt in die POS- Form konvertiert wird.

Eine andere Methode ist nur das Kompliment des gegebenen Ausdrucks:

Als: xy '+ yz'

Nimm sein Kompliment:
(xy '+ yz') '

= (xy ')'. (yz ')' {Verwenden von De Morgans Laws (a + b) '= a'.b'}

= (x '+ y) (y' + z)

Welches ist auch POS- Form ...!

Verwenden Sie das DeMorgan-Gesetz zweimal.

Wenden Sie das Gesetz einmal an:

F' = (xy' + yz')'
   = (xy')'(yz')'
   = (x'+y)(y'+z)
   = x'y' + x'z + yy' + yz
   = x'y' + x'z + yz

Nochmals bewerben:

F=F''
 =(x'y'+x'z+yz)'
 =(x'y')'(x'z)'(yz)'
 =(x+y)(x+z')(y'+z')
 =(x+y)(y'+z')

Überprüfen Sie die Antwort mit wolframalpha.com

xy '+ yz'

(x + y) (y '+ z')

Bearbeiten: Die Antwort kann durch das Konsensgesetz der Booleschen Algebra noch einen Schritt vereinfacht werden

Wenn Sie Ihre Arbeit überprüfen möchten, nachdem Sie sie von Hand ausgeführt haben, können Sie ein Programm wie Logic Friday verwenden .

Es gibt die Begriffe Minimum / Summe der Produkte [SOP] und Maximum / Produkt der Summen [POS] an, sodass wir dafür eine Karnaugh-Karte (K-Karte) verwenden können.

Für SOP paaren wir 1 und schreiben die Paarungsgleichung in SOP, während diese in POS umgewandelt werden kann, indem 0 darin gepaart und die Gleichung in POS-Form geschrieben wird.

Wenn wir zum Beispiel für SOP schreiben, schreiben wir für pos .x + y + $x \cdot y \cdot z$$x+y+z$

Siehe das Verfahren unter Konjunktive Normalform: Konvertieren von Logik erster Ordnung .

Diese Prozedur deckt den allgemeineren Fall der Logik erster Ordnung ab, aber die Aussagenlogik ist eine Teilmenge der Logik erster Ordnung.

Vereinfacht durch Ignorieren der Logik erster Ordnung ist es:

• Beseitigen Sie Implikationen
• Bewegen Sie Negationen nach innen, indem Sie das Gesetz von DeMorgan anwenden
• Verteilen Sie Disjunktionen über Konjunktionen

Wenn Ihre Eingabe bereits in DNF (auch bekannt als SOP) erfolgt, gelten der erste und der zweite Schritt offensichtlich nicht.

Sei x = ab'c + bc '

x '= (ab'c + bc') '

Nach dem Satz von DeMorgan ist x '= (a' + b + c ') (b' + c)

x '= a'b' + a'c + bb '+ bc + c'b' + c'c

x '= a'b' + a'c + bc + c'b '

Unter erneuter Anwendung des Satzes von DeMorgan ist x = (a'b '+ a'c + bc + c'b') '

x = (a + b) (a + c ') (b' + c ') (c + b)