Welches ist die erste Ganzzahl, die ein IEEE 754-Float nicht genau darstellen kann?

Wenn ich aus Gründen der Klarheit eine Sprache verwende, die IEE 754-Floats implementiert, erkläre ich:

float f0 = 0.f;
float f1 = 1.f;

... und dann wieder ausdrucken, bekomme ich 0,0000 und 1,0000 - genau.

IEEE 754 ist jedoch nicht in der Lage, alle Zahlen entlang der realen Linie darzustellen. Nahe Null sind die "Lücken" klein; Je weiter Sie entfernt sind, desto größer werden die Lücken.

Meine Frage lautet also: Für einen IEEE 754-Float, welche ist die erste Ganzzahl (am nächsten bei Null), die nicht genau dargestellt werden kann? Ich bin im Moment nur wirklich mit 32-Bit-Floats beschäftigt, obwohl ich interessiert sein würde, die Antwort für 64-Bit zu hören, wenn jemand sie gibt!

Ich dachte, dies wäre so einfach wie das Berechnen von 2 ^{Bits von Mantissa} und das Hinzufügen von 1, wobei Bits von Mantissa die Anzahl der Bits sind, die der Standard verfügbar macht. Ich habe dies für 32-Bit-Floats auf meinem Computer (MSVC ++, Win64) getan, und es schien jedoch in Ordnung zu sein.

2 ^{Mantissenbits + 1} + 1

Die +1 im Exponenten (Mantissenbits + 1) ist, weil, wenn die Mantisse abcdef...die Zahl enthält, die sie darstellt, tatsächlich ist1.abcdef... × 2^e , ein zusätzliches implizites Bit an Genauigkeit bereitgestellt wird.

Daher ist die erste Ganzzahl, die nicht genau dargestellt werden kann und gerundet wird, folgende:
Für float16.777.217 (2 ²⁴ + 1).
Für double9.007.199.254.740.993 (2 ⁵³ + 1).

>>> 9007199254740993.0
9007199254740992

Der größte Wert, der durch eine n- Bit-Ganzzahl dargestellt werden kann, ist 2 ⁿ -1. Wie oben erwähnt, hat a eine floatGenauigkeit von 24 Bit im Signifikanten, was zu bedeuten scheint, dass 2 ²⁴ nicht passen würden.

Allerdings .

Potenzen von 2 innerhalb des Bereichs des Exponenten sind genau als 1,0 × 2 ^{n darstellbar} , so dass 2 ²⁴ passen kann und folglich die erste nicht darstellbare ganze Zahl für float2 ²⁴ + 1 ist. Wie oben beschrieben. Nochmal.