Wie wirkt sich die Größe eines torischen Code-Torus auf seine Fähigkeit aus, Qubits zu schützen?

Der Toric-Code Hamiltonian lautet:

$\sum_{x,y}\left( \prod_{i\in p(x,y)} Z_{ixy} + \prod_{i\in v(x,y)} X_{ixy} \right),$

wo das und p gemäß diesem Bild definiert sind (mit freundlicher Genehmigung von James Wootons Beitrag zu Wikipedia):$v$$p$

Im Moment haben wir ein unendliches 2D-Gitter:

y → ± ∞ .$x\rightarrow \pm \infty$
$y\rightarrow \pm \infty$

Aber wenn wir periodische Randbedingungen so festlegen (und die Frage bearbeiten können, wenn ich diesbezüglich falsch bin):

v ( x , y + 10 ) = v ( x , y ) ,$p(x+10,y)=p(x,y)$
$v(x,y+10)=v(x,y)$

Wir erhalten den folgenden Torus (Bild mit freundlicher Genehmigung von James Wootons Beitrag zu Wikipedia):

$+10$

$N$$N\times N$

$N$$N$$O(N^2)$$N\rightarrow\infty$$O(N)$$N$