Wie würde ein Quantencomputer verwendet, um partielle Differentialgleichungen zu lösen?

Angenommen, Sie haben eine PDE, die Sie lösen möchten.

Welche Art von Quantenalgorithmen würden Sie verwenden, um es zu lösen? Wie geben wir unser Problem auf einem Quantencomputer ein? Was wird die Ausgabe sein und in welcher Form?

Ich weiß, dass Quantenalgorithmen zum Lösen linearer Systeme (oft als HHL bezeichnet, aber eigentlich ist dies ein schlechter Name, da andere Versionen nicht von den HHL-Autoren stammen) zuvor aufgeführt wurden, aber vielleicht gibt es andere Methoden. Da es sich um eine Subroutine handelt, ist die Ausgabe quantenbasiert. Wenn Sie dann keine Statistiken daraus erhalten oder sie als Eingabe eines anderen Quantenalgorithmus verwenden möchten, ist dies einschränkend.

Ich habe keine genaue Antwort auf Ihre Frage (falls es sie tatsächlich gibt). Aber ich kann einen Teil Ihrer Frage bezüglich der Ein- / Ausgabe an einen Quantenprozessor beantworten.

Als allgemeine Faustregel; Quantenalgorithmen können (derzeit) keine direkten Antworten auf Problemstellungen liefern. Quantenprozessoren existieren zumindest vorerst als heterogene Beschleuniger mit einer klassischen Recheneinheit. Der "Quantenbeschleuniger" befasst sich nur mit dem Teil des Gesamtalgorithmus, der auf einem klassischen Computer nicht trivial (oder exponentiell komplex) zu lösen ist. Am Ende wird tatsächlich nur ein Teil des Programms auf dem Quantenprozessor berechnet. (ZB Shors Faktorisierungsalgorithmus ist eigentlich ein Periodenfindungsalgorithmus. Die Periodenfindung ist eine nicht triviale Aufgabe.)

Unter mehreren anderen Gründen besteht das Hauptproblem in der Eingabe- und Ausgabeoperation mit einem Quantenprozessor. Das Problem "muss" in einer präzisen Form (z. B. einer Gleichung) ausgedrückt werden können. Diese Gleichung wird als Quantenschaltung im "Orakel" ausgedrückt, das sich in erster Linie mit der Lösung der Gleichung befasst, und das Messergebnis wird aufgezeichnet (Tomographie). Auch die Ausgabe muss nachbearbeitet werden, um tatsächlich einen Sinn zu ergeben (was wiederum vom klassischen Gegenstück durchgeführt wird).

ps Es würde mich sehr interessieren, mehr über das Lösen von Quantenalgorithmen durch PDE zu erfahren. wenn es eine effiziente gibt.

Ich bin auf einen Ansatz zur Lösung von Differentialgleichungen mit D-Wellen-Quantenglühern gestoßen. Der Link ist hier: https://arxiv.org/abs/1812.10572 .

Die grundlegende Methode besteht darin, das Energiefunktional für die Differentialgleichung abzuleiten, das dann auf einem Quanten-Annealer minimiert wird. Die Minimierung kann auf Finite-Elemente-Basis erfolgen, um die Energie auf einen lokalisierten Subgraphen der D-Wellen-Maschine abzubilden.

$\mathcal{O}(n)$