Wann immer man eine Quasi-Monte-Carlo-Methode zur Kubatur oder Optimierung verwendet, scheint es eine Vielzahl von Sequenzen mit geringer Diskrepanz zu geben, die mit den Namen van der Corput, Halton, Hammersley, Faure, Niederreiter, Sobol ', assoziiert sind. und andere Namen, an die ich mich nicht ganz erinnere. Gibt es gute Faustregeln für die Auswahl der am besten geeigneten Sequenz mit geringer Diskrepanz für Ihre Berechnungen?
Die Koksma-Hlawka-Ungleichung besagt, dass, wenn die Variation V ( f ) im Sinne von Hardy und Krause auf dem Einheitshyperwürfel I s begrenzt hat , die Fehlergrenze durch das Produkt von V ( f ) gegeben ist.und die Sterndiskrepanz der verwendeten Sequenz. Dass der Fehler nur von der Diskrepanz abhängt, ergibt zwei Schlussfolgerungen. Wählen Sie zunächst die Sequenz mit der geringsten Diskrepanz. Zweitens spielt die Regelmäßigkeit des Integranden bei dieser Bindung keine Rolle und ist daher in der Praxis nicht sehr nützlich. Um mehr Informationen über den Integranden in Ihre Fehleranalyse einzubeziehen, müssen Sie entweder experimentelle Vergleiche zwischen Sequenzen durchführen oder andere Ansätze als das grundlegende Quasi-Monte-Carlo in Betracht ziehen.
Mein Verständnis ist, dass die Situation die in iterativen Methoden gefundenen widerspiegelt. Wir können allgemeine Ergebnisse wie
Jede LDS-Sequenz hat spezifische Vorteile und Vorbehalte, und ihre Diskussion würde viele Bücher füllen (eine Einführung finden Sie in Lemieuxs). Im Allgemeinen erwies sich die vielseitigste jedoch als Sobol-Sequenz (verwenden Sie unbedingt die neuesten Parameter von Joe & Kuo). Alle anderen erfordern in der Praxis immer signifikante zusätzliche Modifikationen sowohl der Integranden- als auch der LDS-Punkte (z. B. Verwürfeln) der Grundformulierungen. Sobol 'hat auch viele Probleme, ist jedoch flexibel genug, um in möglichst reibungslosen Integrationen bei geringen Abmessungen verwendet zu werden. Denken Sie auf jeden Fall daran, Ihre QMC-Lösung mit einer (langsameren) MC-Lösung zu vergleichen: Bei niedrigen (angemessenen) Stichprobengrößen kann QMC voreingenommene Schätzungen zurückgeben.
Es gibt auch fortgeschrittenere LDS-Konstruktionen zur Anpassung an bestimmte Probleme, aber nur wenig SW verfügbar.
Einige Informationen zu Ihrer spezifischen Aufgabe wären hilfreich, um eine Antwort zu fokussieren.
Wo wir Monte-Carlo-Simulation verwendet haben, wird empfohlen (von Leuten, die in den anderen nationalen Labors arbeiten), "gute" Pseudozufallszahlengeneratoren zu verwenden . Der letzte, an dem ich gearbeitet habe, verwendete Schafgarbe , aber neuere verwendeten Fortuna oder Mersenne-Twister .
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