Approximation der partiellen Ableitung einer Funktion der stochastischen Variablen

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Sei ein Ito-Prozess wobei ein Wiener-Prozess ist.Xt

dXt=a(Xt,t)dt+b(Xt,t)dWt
Wt

Eine numerische Annäherung der Lösung dieser Gleichungen wird von Milstein vorgeschlagen:

XT=Xt+a(Xt,t)Δt+b(Xt,t)ΔWt+12b(Xt,t)b(Xt,t)x(ΔWt2Δt)

wo

Δt=Tt

ΔWt=WTWt

Gemäß der Literatur kann dies über die Näherung (bekannt als starkes Schema der expliziten Ordnung 1 von Platen) in ein ableitungsfreies Schema umgewandelt werden:

b(Xt,t)b(Xt,t)xb(Xt+a(Xt,t)Δt+b(Xt,t)Δt,t)b(Xt,t)Δt

(Siehe: 2001, Kloeden, "Ein kurzer Überblick über numerische Methoden für stochastische Differentialgleichungen" )

Kann jemand helfen zu verstehen, wie diese Annäherung an die partielle Ableitung erhalten wird?

Vielen Dank

Kristjan Onu
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Antworten:

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Dies wird in Abschnitt 11.1 von Kloeden und Platen, "Numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen", erörtert . Dort heißt es:

Mit der deterministischen Taylor-Erweiterung kann leicht gezeigt werden, dass das Verhältnis ist eine Vorwärtsdifferenznäherung für bei wenn wir Terme höherer Ordnung vernachlässigen.

1Δ{b(τn,Yn+aΔ+bΔ)b(τn,Yn)}
bbx(τn,Yn)
Kristjan Onu
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Ein guter Weg, dies zu verstehen, ist, dass die "durchschnittliche Größe eines Wiener-Prozessschritts " . Dies liegt daran, dass die Varianz . Wenn Sie also über die Zeitskala für alles nachdenken, was mit als , folgt die Formel.dWΔtΔtbΔt

Das ist natürlich nur Intuition. Klodens numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen und Taylor-Approximationen für stochastische partielle Differenzierungen macht dies strenger.

Chris Rackauckas
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