großes dichtes niedriges Rangzuordnungsproblem

$\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ $\pi$ $1:n$

Hier ist eine Matrix mit niedrigem Rang . Typische Größen wären (möglicherweise viel größer), . $A$ $n\times n$ $r$ $n=10000~~$ $r=15$

optimization Arnold Neumaier
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Mit meine ich das Produkt, so dass Sie für verschiedene durch die Matrix schreiten ?

π i

$\pi i$

π

$\pi$

Bill Barth

π

$\pi$ läuft über alle Permutationen.

Arnold Neumaier

Sollte es dann nicht ?

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$

Jack Poulson

@JackPoulson: und sind zwei verschiedene Notationen für das Bild von unter der Permutation .

\i (i)

$\i(i)$

π i

$\pi i$

i

$i$

π

$\pi$

Arnold Neumaier

Interessante Frage! Möchten Sie die niedrigrangige Struktur nur aus Speichergründen ausnutzen , um nicht die gesamte Matrix bilden zu müssen, wenn Sie einen herkömmlichen Zuweisungsalgorithmus anwenden? Oder suchen Sie nach einer Möglichkeit, den niedrigen Rang auszunutzen, um die Suche zu beschleunigen?

Michael Grant

Antworten:

Da mit , haben wir wobei die Permutationsmatrix ist, die . $A=R_1R_2^T$ $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

\sum_{i} A_{π i, i} = \sum_{i} (P_{π} A)_{i, i} = trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$

P_{π}

$P_{\pi}$

π

$\pi$

Für jedes kann die Ablaufverfolgung als berechnet werden (Diese Menge ist auch bekannt als Frobenius Produkt , ). $\pi$

trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T}) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{π} R_{1})_{i, k} (R_{2}^{T})_{k, i} = \sum_{i, k} ((P_{π} R_{1}) \circ R_{2})_{i, k} .

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$

Diese Idee ersetzt nicht die Last, weg für das Maximum aller Frobenius Produkte alle Permutationen und Brute-Force-Methode durchlaufen, und in der Tat ist die gleiche arithmetische Komplexität wie explizit die Berechnung . Es hat jedoch viel weniger Speicherbedarf, da Sie nie wirklich bilden müssen . $A=R_1R_2^T$ $A$

Nico Schlömer
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