Verwirrung über Quantum Monte Carlo

Meine Frage betrifft das Extrahieren von Observablen aus QMC-Methoden, wie in dieser Referenz beschrieben .

Ich verstehe die formale Ableitung verschiedener QMC-Methoden wie Path Integral Monte Carlo. Letztendlich bin ich jedoch immer noch verwirrt darüber, wie ich diese Techniken effektiv einsetzen kann.

Die Grundidee der Ableitung von Quanten-MC-Methoden besteht darin, über die Trotter-Näherung einen Operator zu diskretisieren, der entweder die Dichtematrix oder der Zeitentwicklungsoperator eines Quantensystems sein kann. Wir erhalten dann ein klassisches System mit einer zusätzlichen Dimension, das mit MC-Methoden behandelt werden kann.

Da wir interpretieren in der Quanten Operator sowohl als inverse Temperatur und eine gedachte Zeit ist es das Ziel dieser Algorithmen sollte eine Näherung dieses Operators zu berechnen sein. Wenn wir tatsächlich Größen aus den verschiedenen Konfigurationen messen würden, die entlang einer Simulation abgetastet wurden, hätten wir im Fall der "inversen Temperatur" Proben, die eine Wahrscheinlichkeitsdichte basierend auf berücksichtigen , wobei $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ ist die Anzahl der diskreten Schritte, die bei der Trotter-Zerlegung eingeführt werden. Stattdessen würden wir im Fall der "imaginären Zeit" Abtastwerte in verschiedenen diskreten Zeitschritten erhalten, wodurch auch Durchschnittswerte über die Zeit erhalten würden. Wir würden auch nicht erhalten Mengen wie zu einem gegebenen Zeitpunkt , wobei einige beobachtbare Operator. $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ $t$ $\hat{A}$

Meiner Meinung nach stammen die Mengen jedoch direkt aus dieser Art von Simulationen (entnommen aus (5.34) des Dokuments, Seite 35):

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

kann angesichts der zusätzlichen Dimension keine Größen sein, die sich auf das Quantensystem beziehen. Stattdessen können die korrekten Quantengrößen über Formeln wie (5.35) berechnet werden, die in jeder Stichprobe eine ganze Kette von simulierten Konfigurationen enthalten: $M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} \sum_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

Habe ich Recht, dass eine Reihe von QMC-Simulationen erforderlich ist, um nützliche Informationen über eine bestimmte beobachtbare Größe zu extrahieren?

monte-carlo quantum-mechanics Pippo
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Vorausgesetzt, ich verstehe Sie richtig, fällt mir auf, dass die beiden Ansätze gleichwertig sind, wenn das System ergodisch ist.

Daniel Shapero

@ DanielShapero Was meinst du genau mit Äquivalent?

Pippo

Ich habe gerade den Pfad Integral Monte Carlo gegoogelt und du solltest eigentlich einfach ignorieren, was ich gesagt habe, es ist irrelevant.

Daniel Shapero

Ich glaube nicht, dass es Zweifel an Quantum Monte Carlo gibt. es ist sehr gut verstanden und theoretisch rigoros unterstützt ...

Nick

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

Antworten:

Ihre Frage ist sehr verwirrend. Das Wichtigste für mich ist, dass Sie diese "naive" QMC vermissen, bei der es sich um eine Monte-Carlo-Berechnung von Integralen in einer Variationsmethode und eine Diffusion handelt. Monte-Carlo sind verschiedene Methoden mit unterschiedlicher Argumentation und Ableitung.

Der Hauptpunkt ist jedoch die imaginäre Zeit. Bei der Diffusion ist die imaginäre Monte-Carlo-Zeit ein Trick, um die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in eine zeitabhängige diffusionsähnliche Gleichung umzuwandeln, deren Lösung in der unendlichen "Zeit" -Grenze zu einer Lösung der ursprünglichen Schrödinger-Gleichung tendiert. Das ist es. Die Zeit in DQMC ist nicht real.

Eine relativ gute, aber einfache Erklärung findet sich in Reviews of Modern Physics, 73, 33 (2001) .

PS Übrigens, was meinst du mit "Trotter Approximation" in deiner Frage?

Mischa
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Ich glaube nicht, dass es diese Verwirrung gibt, ist meine Frage, da ich mich nie auf Diffusion MC bezogen habe, dessen Idee ganz anders ist, obwohl sie auch von einer Diskretisierung des Dichte- / Zeitentwicklungsoperators ausgeht (aber mit einer anderen Interpretation von endet es).

Pippo

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

Übrigens, am Ende habe ich mein Problem gelöst und am Ende der Prüfung direkt an den Professor gefragt (was sehr gut gelaufen ist: D), und ja, wir können simulierte Größen nicht direkt mit den gewünschten Quanten verknüpfen.

Pippo

@Pippo Also, was du eigentlich gemeint hast, war Path-Integral Monte Carlo. Ich sehe immer noch nicht, dass Sie dies in Ihrer Frage erwähnen.

Mischa

Zweite Zeile: "Ich verstehe die formale Ableitung verschiedener QMC-Methoden wie Path Integral Monte Carlo." ;)

Pippo

Sie haben Recht, dass Menschen ständig Monte-Carlo-Techniken verwenden, um statistische Durchschnittswerte (im Gegensatz zu zeitaufgelösten Informationen) zu berechnen. Es ist nicht unbedingt wahr , dass das ist , was werden soll , berechnet: auf welcher Art von Informationen ab , die Sie wollen. Möglicherweise haben Sie beispielsweise einen zeitabhängigen externen Antrieb und möchten sehen, wie sich das System als Reaktion entwickelt.

Dan
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Danke für die Antwort. Ich werde versuchen, mehr Details zu geben, was ich frage. Um mich verständlicher zu machen, verweise ich auf diese Arbeit, die ich im Internet gefunden habe: itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

Pippo

Die Grundidee der Ableitung von Quanten-MC-Methoden besteht darin, über die Trotter-Näherung einen Operator zu diskretisieren, der entweder die Dichtematrix oder der Zeitentwicklungsoperator eines Quantensystems sein kann; Auf diese Weise erhalten wir ein klassisches System mit einer zusätzlichen Dimension, das mit MC-Methoden behandelt werden kann.

Pippo

M

$M$

Hier kommt meine Frage: Habe ich Recht mit meiner Interpretation der Quantum Monte Carlo Methoden?

Pippo

Ich werde auch meine ursprüngliche Frage bearbeiten.

Pippo