Ich frage mich nur, ob Discrete Exterior Calculus als neue numerische Methode gut in der numerischen Lösung von Problemen in Bezug auf Elastizität, Flüssigkeiten oder andere physikalische / reale Bereiche geeignet ist.
Ich spreche von einem rechnergestützten elektromagnetischen Hintergrund und denke, dass dies eine sehr elegante Möglichkeit ist, Probleme zu diskretisieren. Ich habe es mit Erfolg bei Eigenmodus- und Randwertproblemen verwendet. Es ist wahrscheinlich weniger genau als eine strikte Finite-Elemente-Diskretisierung, wenn Sie diagonale Hodge-Sterne verwenden (Näherung der konzentrierten Masse), aber ich denke, es erreicht immer noch die gleiche asymptotische Konvergenzrate, wenn Sie Ihre Hodge-Sterne sorgfältig berechnen (in der Elektromagnetik ist es wahrscheinlich schwieriger als in Kontinuumsmechanik). Es ist also wahrscheinlich nur ein kleiner konstanter Faktor (theoretisch kann es in der Praxis vernachlässigbar sein).
DEC vereinfacht die Formulierung der Probleme erheblich und ermöglicht es Ihnen, sich mehr auf die Physik des Problems zu konzentrieren. Die Konstruktion der Hodge-Sterne zwingt Sie dazu, über die Bedeutung der konstitutiven Beziehungen und die physikalisch sinnvolle Art der Durchführung räumlicher Mittelwerte nachzudenken. Es scheint auch viele der wichtigen Symmetrien der kontinuierlichen Probleme in der diskreten Einstellung beizubehalten, und es kann einfacher sein, diese zu beweisen als in einer Finite-Elemente-Einstellung.
Schließlich schätze ich es als jemand, der Code schreibt, dass ich während der Matrixassemblierung keine Quadratur durchführen muss. Stattdessen können Sie die Hodge-Sterne normalerweise mithilfe analytischer räumlicher Mittelwerte unter Verwendung angenommener Formen räumlicher Variation berechnen. In der Elektromagnetik, in der wir stückweise konstante Materialeigenschaften über den Raum haben, können diese Mittelwerte genau berechnet werden, wodurch das gesamte Problem in Bezug auf kleine Störungen in der räumlichen Geometrie glatt wird. Dies unterstützt jede Optimierung, die Sie möglicherweise um Ihre Methode wickeln möchten, erheblich.
Diese Antwort ist einige Jahre zu spät, aber ich bin der Meinung, dass diese Fragen auch heute noch relevant sind. In den letzten Jahren erschienen neue Anwendungen von DEC in Bereichen wie Computergrafik, Geometrieverarbeitung, Navier-Stokes-Gleichungen und Darcy Flow. In der Einleitung des unten vorgeschlagenen Papiers finden Sie einen schnellen Überblick über die Bereiche (einschließlich linearer Elastizität, Elektrodynamik und Variationsintegratoren), in denen DEC verwendet wurde (einige der zitierten Autoren waren in der DEC-Literatur ziemlich aktiv).
Wie Timur in einer Antwort auf dem Mathoverflow-Blog sagte, kann Konvergenz in besonderen Fällen erzielt werden, indem DEC mit anderen Methoden in Beziehung gesetzt wird, von denen bekannt ist, dass sie konvergieren. Es wurden jedoch ernsthafte Versuche unternommen, einen allgemeinen Rahmen zur Lösung von Konvergenzproblemen zu entwickeln. Kürzlich haben wir die Konvergenz der DEC-Lösungen für das Poisson-Problem (für Funktionen, dh 0-Formen) in einer beliebigen Dimension in der diskreten L2-Norm nachgewiesen. Viele Probleme und Fragen im Zusammenhang mit dem asymptotischen Verhalten der diskreten Lösungen in anderen Normen bleiben offen, aber das Folgende ist ein willkommener Schritt zum besseren Verständnis der Theorie: https://arxiv.org/abs/1611.03955 (Konvergenz des diskreten Äußeren) Kalkülannäherungen für Poisson-Probleme, Erick Schulz und Gantumur Tsogtgerel, 2016).
Discrete Exterior Calculus (DEC) hat Vor- und Nachteile:
Vorteile:
Einfache "Verwendung" Für einen Schüler ist es recht einfach, eine Diskretisierung und einen Löser für eine einfache PDE zusammenzustellen, z. B. Laplace / Poisson auf einer gekrümmten Oberfläche (Laplace Beltrami). Dies machte die Methode nach dem Caltech-Geometrielabor in der Computergrafik sehr beliebt. machte einige Kurse auf der Hauptgrafikkonferenz (SIGGRAPH), siehe Referenz in anderer Antwort. Dies ist insbesondere in der Computergrafik der Fall, wo die Schüler die Matrizen gut kennen, mit Integralen jedoch weniger vertraut sind. Mit DEC können sie "Lego spielen" und einfache PDEs lösen, ohne zu viel zu leiden.
Vereinfachung einiger Berechnungen DEC ist eine Emanation von EC (Exterior Calculus, erfunden von Elie Cartan von 1899 bis 1945). Zentral in der EG gibt es den Begriff der Formen ("zu integrierende Dinge") und Ketten ("Integrationsdomänen") und eine Dualität zwischen ihnen. Einige Sätze (Stokes, Green-Gauss, Ostrogradsky und der grundlegende Satz der Analyse) sind ein Sonderfall dieser Dualität. Dies ist nicht nur elegant, sondern vereinfacht in einigen Fällen auch die Berechnung (wie in der Elektromagnetik) und vermeidet in vielen Fällen die Bezugnahme auf die Parametrisierung der Objekte (z. B. beim Manipulieren von Vektorfeldern über Oberflächen oder in der gekrümmten Raum-Zeit-Einstellung der Relativitätstheorie).
Untriviale Freiheitsgrade zeigenDurch die Erklärung der Beziehung zwischen Formen ("zu integrierende Dinge") und Ketten ("Integrationsdomänen") kann EC eine untriviale Parametrisierung von Objekten wie Vektorfeldern auf Oberflächen aufweisen und die Beziehungen zwischen der Topologie des Vektorfelds und erklären die darunter liegende Oberfläche (Homologie: Topologie der auf der Oberfläche verfolgten Kurven, Co-Homologie: Topologie der Vektorfelder), siehe [1] für eine eingehende Untersuchung. Wir haben es in [2,3] verwendet, um die topologischen Freiheitsgrade diskreter Vektorfelder zu untersuchen. Ein eindrucksvolles Beispiel für die Kraft dieser Art von Argumentation ist der Beweis von Gortler et al. Für Tuttes planaren Einbettungssatz [4]. Frühere Beweise dieses Theorems (von Tutte und später von Colin de Verdière) erfordern einen bestimmten Hintergrund der Graphentheorie, um verstanden zu werden. Der Beweis von Gortler et. al ist viel zugänglicher,
Nachteile:
Die vereinfachte Version von DEC, die vom Caltech-Geometrielabor beworben wird. versteckt viele Details unter der Haube. Während es in Ordnung ist, Laplace- und Poisson-Gleichungen sowohl für die euklidischen als auch für die gekrümmten Einstellungen abzuleiten, treten bei der Diskretisierung komplizierterer Gleichungen schnell einige Probleme auf, da keine Fragen zur Konvergenz zur kontinuierlichen Einstellung und / oder zu den Eigenschaften gestellt werden werden durch die Diskretisierung erhalten (Identitäten mit div / grad / curl, bezeichnet als Hodge-Komplex, untersucht von Mathematikern wie Jenny Harisson und Robert Kotiuga). Die Art und Weise, wie es in der Computergrafik verwendet wird (hauptsächlich für die Laplace-Gleichung), bringt in den meisten Fällen nicht mehr als der klassische P1 FEM Laplace. Ich bevorzuge eher den klassischen P1 FEM Laplace, weil er Ihnen sowohl die Formel der Diskretisierung gibt als auch Sie erklärt
Schlussfolgerung / Zusammenfassung: EC und DEC sind eine leistungsfähige Theorie zur Untersuchung komplizierter Probleme (Elektromagnetik, Vektorfelder auf Oberflächen beliebiger Topologie). Die Art und Weise, wie es in der Computergrafik verwendet wird, macht es Schülern, die keine Integrale kennen, einfach, einfache Dinge zu tun. Für einfache Dinge bevorzuge ich eher die klassische FEM-Formulierung, bei der der vollständige Ableitungspfad von der Theorie bis zur Diskretisierung zusammen mit den theoretischen Garantien leichter zu verfolgen ist. Für komplizierte Dinge kann es sehr elegant und effizient sein (vorausgesetzt, der gesamte Argumentationspfad bleibt erhalten, anstatt nur mit einigen Formen des diskreten Hodge-Sterns und der diskreten äußeren Ableitung "Lego zu spielen").
[1] Douglas Arnold, Finite-Elemente-Außenrechnung, 2006
[2] N-Symmetrie-Richtungsfelddesign, ACM Trans. Graph., 2008
[3] Geometriebewusste Richtungsfeldverarbeitung, ACM Trans. Graph., 2009
[4] Ein elementarer Beweis für Tuttes Planar Embedding Theorem, Gortler, Gotsmann, Thurston, 2006, Computer Aided Geometric Design
Ich würde sagen, es scheint ein gewisses Interesse zu bestehen, aber es explodiert nicht. Es ist ein bisschen zu endlich für meinen Geschmack, aber ich bin eine Person mit finiten Elementen.
Ich wäre sehr an der Antwort auf diese Frage interessiert, was HPC und allgemeines wissenschaftliches Rechnen betrifft, aber es gab sicherlich viele gute Ergebnisse in der Computergeometrie, zum Beispiel in vielen Veröffentlichungen und Referenzen hier: http: / /www.geometry.caltech.edu/pubs.html