Normalerweise konsultiert man ein Papier oder ein Buch, um Integrationspunkte und -gewichte für Einheitsdreieck und Tetraeder zu finden. Ich suche nach einer Methode, um solche Punkte und Gewichte automatisch zu berechnen. Das folgende Mathematica- Codebeispiel berechnet Integrationsgewichte und -punkte für Einheitenlinienelemente (Quad / Hexaeder):
unitGaussianQuadraturePoints[points_] :=
Sort[x /.
Solve[Evaluate[LegendreP[points, x] == 0], {x}], !
OrderedQ[N[{#1, #2}]] &];
unitGaussianQuadratureWeights[points_] :=
Module[{gps, f, int, integr, vars, eqns},
gps = unitGaussianQuadraturePoints[points];
f[0, 0] := 1;
f[0., 0] := 1.;
f[x_, n_] := x^n;
int = Integrate[f[x, #], x] & /@ Range[0, points - 1];
integr = Subtract @@@ (int /. x :> {1, -1});
vars = Table[Unique[c], {Length[gps]}];
eqns =
Table[Plus @@ Thread[Times[vars, f[#, i - 1] & /@ gps]] ==
integr[[i]], {i, points}];
Return[(vars /. Solve[eqns, vars])];];
unitGaussianQuadratureWeights[2]
{{1, 1}}
unitGaussianQuadraturePoints[2]
{1/Sqrt[3], -(1/Sqrt[3])}
Ich suche eine Arbeit / ein Buch, das algorithmisch beschreibt, wie dies für Dreiecke und / oder Tetraeder gemacht wird. Kann mich jemand auf einige Informationen dazu hinweisen. Vielen Dank.
symbolic-computation
reference-request
David Ketcheson
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{points, weights} = MapThread[Map, {{2 # - 1 &, 2 # &}, Most[NIntegrate`GaussRuleData[n, prec]]}].Transpose[MapAt[2(First /@ #)^2 &, Eigensystem[SparseArray[{Band[{2, 1}] -> #, Band[{1, 2}] -> #}, {n, n}]], {2}]] &[Table[k/Sqrt[(2 k - 1)(2 k + 1)], {k, n - 1}]].Antworten:
Die Encyclopaedia of Cubature Formulas enthält eine umfangreiche Liste von Techniken für diesen Zweck und zugehörige Referenzen.
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Hier ist ein Papier Artikel http://journal.library.iisc.ernet.in/vol200405/paper6/rathod.pdf , in dem beschrieben wird, wie das Einheitendreieck auf das Standard-2-Quadrat abgebildet wird, um die Gewichte und Stichprobenpunkte für die Dreieck in Form von Gauß-Legendre-Punkten für das Standard-2-Quadrat.
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