Frage zur Kovarianzmatrix von 2 räumlichen Signalen

Jedes Mal, wenn ich denke, die Kovarianzmatrix verstanden zu haben, kommt jemand anderes mit einer anderen Formulierung auf.

Ich lese gerade dieses Papier:

J. Benesty, "Adaptiver Eigenwertzerlegungsalgorithmus für die passive Lokalisierung akustischer Quellen" , J. Acoust. Soc. Am. Band 107 , Ausgabe 1, S. 384-391 (2000)

und ich bin auf eine Formulierung gestoßen, die ich nicht ganz verstehe. Hier konstruiert der Autor die Kovarianzmatrix zwischen zwei Signalen, und x 2 . Diese beiden Signale stammen von unterschiedlichen Sensoren.$x_1$$x_2$

Für die Kovarianzmatrix eines Signals weiß ich, dass wir sie erhalten können, indem wir die Regressionsmatrix berechnen und sie dann mit dem Hermitian derselben Matrix multiplizieren und die Länge des ursprünglichen Vektors durch dividieren . Die Größe der Kovarianzmatrix kann hier beliebig sein, wobei die maximale Größe N × N ist .$N$$N\times N$

Wenn wir für die Kovarianzmatrix zweier räumlicher Signale das erste Signal in der ersten Reihe und das zweite Signal in der zweiten Reihe einer Matrix platzieren, dann mit ihrem Hermitian multiplizieren und auch durch dividieren , erhalten wir ein 2 × 2 Kovarianzmatrix beider räumlicher Signale.$N$$2\times 2$

In diesem Artikel berechnet der Autor jedoch vier Matrizen, und R $R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$ , und setzt sie dann in eine Supermatrix und nennt das die Kovarianzmatrix.$R_2{}_2$

Warum ist das so? Hier ist ein Bild des Textes:

$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$$x_2[n]$$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. $x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$$2N$$2N \times 2N$$R_{\text{full}} = E[XX^T]$

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$2\times 2$$R_{2\times 2}$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$