Optimal angepasster Filter ohne ISI

Wenn ein Filter zur Formung des digitalen Signals wird und die Filterkombination keine ISI verursachen soll, welches "angepasste" Filter maximiert das SNR?$p(x)$$q(x)$

In der digitalen Kommunikation werden angepasste Filter verwendet, um das Signal-Rausch-Verhältnis zu maximieren. Oft wird ein Root-Raised-Cosine-Filter verwendet, um das Signal zu formen, da es im Frequenzraum begrenzt ist und dasselbe Filter auf das empfangene Signal angewendet werden kann, um das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) zu verbessern, ohne dass ein Intersymbol verursacht wird -Interferenz (ISI).

Wenn jedoch ein weniger optimales Filter zum Formen des Signals verwendet wird, kann die Verwendung desselben Filters am Empfänger ISI einleiten. Es ist nicht sofort ersichtlich, welche Filter am empfangenden Ende die beste Wahl sind.

Mein Verständnis ist, dass das SNR durch Maximieren von maximiert wird. Daher möchte ich dies maximieren und gleichzeitig die Bedingung erfüllen, dass Filter keine ISI ( für , ist eine ganze Zahl, ist die Symbolbreite).$\int{p(x)q(x)dx}$$p(x)*q(x) = 0$$x=kT$$k$$T$

Vermutlich könnte man dies tun, indem man eine Euler-Lagrange-Gleichung mit einigen Lagrange-Multiplikatoren für die Nebenbedingungen löst. Gibt es einen einfacheren Weg oder mache ich einen Fehler oder gehe ich in die falsche Richtung?

Für den Fall der linearen Modulation auf dem AWGN-Kanal mit gleichwahrscheinlichen Symbolen (ein sehr häufiger Fall) besteht der optimale Ansatz darin, ein Filter zu verwenden, das an die Symbolwellenform angepasst ist, dh:

Die Verwendung eines angepassten Filters bietet zu jedem Entscheidungszeitpunkt das optimale Signal-Rausch-Verhältnis am Filterausgang. Dies ist leicht zu erkennen, wenn Sie sich daran erinnern, dass ein abgestimmtes Filter wie ein gleitender Kreuzkorrelator zwischen seinem Eingangssignal und der erwarteten Symbolwellenform wirkt und die beiden bei allen möglichen Verzögerungen miteinander korreliert. Zu optimalen Entscheidungszeitpunkten stimmt die Impulsantwort des Filters (normalerweise auf Einheitsenergie skaliert) genau mit einem übertragenen Symbol überein, analog zu einer Null-Verzögerungsbedingung bei der Kreuzkorrelationsoperation. Zu diesem Zeitpunkt ist die Ausgabe des Filters gleich der Energiemenge im empfangenen Symbol, skaliert mit einem datenabhängigen Faktor (z. B. für BPSK würde das angepasste Filter oder - E s ausgeben ) plus einem Rauschausdruck.$E_s$$-E_s$

Die Rauschenergie am Filterausgang während des Abtastzeitpunkts hängt nicht von der Zeitdomänenform der Impulsantwort des Filters ab, sondern nur von der Gesamtenergie der Impulsantwort (wie zuvor erwähnt, typischerweise Eins). Daher wird das Signal-Rausch-Verhältnis maximiert, indem der Betrag der Signalenergie im Filterausgang zum Abtastzeitpunkt maximiert wird. Durch Auswahl des Empfängerfilters, das an die Symbolform angepasst werden soll, haben wir dies getan, da die Symbolwellenform eine maximale Korrelation mit einer Filterimpulsantwort aufweist, die eine identische Form aufweist. Somit liefert das angepasste Filter ein maximales SNR für den AWGN-Kanalfall.

Mit dieser Handbewegung aus dem Weg (Sie können es definitiv mit mehr mathematischer Genauigkeit erreichen, aber ich bin ein Ingenieur und dies ist ein kostenloser Service. Wenn Sie sich mit den Details befassen möchten, überprüfen Sie eine Theorie der digitalen Kommunikation Sie denken vielleicht, dass ich vergessen habe, dass Sie nach dem nicht idealen ISI-Fall gefragt haben. Fürchte dich nicht, denn ich behaupte, wenn du die gesendete Pulsform kennst, ist das angepasste Filter immer noch die optimale Wahl für den AWGN-Kanal.

$p(x)$$q(x)$

Natürlich wissen Sie in der Regel nicht genau, wie die vorherigen Symbole lauten. Wenn Sie dies getan haben, befinden Sie sich möglicherweise auf einem ausreichend hohen SNR, dass Ihr ISI vernachlässigt werden kann. Im interessanteren Fall können Sie diese Annahme nicht treffen. Stattdessen wird ein Maximum-Likelihood-Sequenzerkennungsansatz unter Verwendung des Viterbi-Algorithmus verwendet. Dieser Vorgang wird als Viterbi-Entzerrung bezeichnet , da Sie in diesem Modell den durch die Pulsform induzierten ISI wie einen weichwertigen Faltungscode behandeln, der auf Ihre Sende-Wellenform angewendet wird. Die Zeitdauer des ISI im Viterbi-Equalizer definiert die erforderliche Anzahl von Algorithmuszuständen, ähnlich der Beschränkungslänge in einem Faltungscode.

Dieser Ansatz wird häufig in Systemen verwendet, die die von Ihnen festgestellte nicht optimale Pulsform haben. Ein bemerkenswertes Beispiel ist GSM (das eine Gaußsche Impulsform verwendet, die sich über mehrere Symbolintervalle erstreckt). Eine großartige Referenz zu diesem Thema wurde 2003 von Sklar veröffentlicht:

B. Sklar, „Wie ich gelernt habe, das Gitter zu lieben“, IEEE Signal Processing Magazine, S. 87-102, Mai 2003