Echte diskrete Fourier-Transformation

Ich versuche die wahre DFT zu verstehen und die DFT und warum die Unterscheidung existiert.

Von dem, was ich weiß , so weit die DFT verwendet für Basisvektoren und gibt die Darstellung Die Summe wird aus historischen Gründen von bis , anstatt es analog zur Fourier-Reihe zu schreiben, wobei die Summe von $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

bis

Dies beruht auf einer besonderen Anomolie der DFT, wobei Hohe Frequenzen sind die gleichen wie negative Frequenzen:

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Fortsetzung der Analogie mit Fourierreihen ergibt die reelle DFT die Darstellung

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

Meine FrageWarum ist die DFT dann so viel häufiger als die echte DFT? Man würde erwarten, dass die reale DFT reelle Sinus- und Cosinus-Werte als Basis verwendet und somit das geometrische Bild besser darstellt, als es die Leute gerne hätten. Ich kann sehen, warum die DFT und die kontinuierliche Fouriertransformation im theoretischen Sinne bevorzugt werden, da die Algebra der Exponentiale einfacher ist. Wenn man jedoch die einfachere Algebra ignoriert, warum ist die DFT unter praktischen rechnerischen Gesichtspunkten sinnvoller? Warum ist die Darstellung Ihres Signals mit komplexen Exponentialen in verschiedenen Anwendungen für Physik, Sprache, Bild usw. nützlicher als die Zerlegung Ihres Signals in Sinus und Cosinus? Auch wenn es etwas Feines gibt, das ich in meiner obigen Darstellung vermisse, würde ich gerne wissen:

dft user782220
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N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

Übrigens: Ich empfehle dringend, diese beiden Artikel sowohl über die echte Fourier-Transformation als auch über die Hartley-Transformation zu lesen . Sie können das Interesse an diesen Methoden, abgesehen von der DFT selbst, gut erklären.

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

Eines der Kapitel in Van Loan befasst sich ausführlich mit Ihrer Frage. Das setzt Geschick bei der Manipulation von Kronecker-Produkten voraus.

Zumindest sollten Sie weniger Fragen haben als jetzt.

Antworten:

$A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$ gleiche Menge von Exponentialen . Außerdem wird jedes neue Gewicht erhalten, indem das alte Gewicht mit einer geeigneten Zahl multipliziert wird.

$\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$ über Linearität und Überlagerung und liberale Nutzung von

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ Sünde (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

Im Gegensatz dazu ist die Reaktion auf $\cos(\omega t)$ ist von der Form $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ . Während Linearität und Überlagerung usw. funktionieren, muss für die Ausgabe möglicherweise eine andere Basisfunktion verwendet werden als für die Eingabe. Natürlich sehr eng verwandt, aber möglicherweise werden noch andere und möglicherweise mehr Basisfunktionen benötigt. Zum Beispiel Eingabe $\cos(\omega t)$ wird durch eine Basisfunktion dargestellt, Ausgabe $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ by two basis functions. It can be argued that complex functions require twice as much work as real functions and so any savings are purely imaginary (pun intended), but complex representations allow uniform treatment while sin/cos representations do not. Quick! Given the response to $\cos(\omega t)$ is $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ , what is the response to $\sin(\omega t)$ ? You have to work at it a bit, you may need to invoke formulas such as

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$ and so on. With complex exponentials, life is a lot easier.

But, as in real life, your mileage may vary, and if you feel that sin/cos representations are the way to go and complex exponentials should be eschewed, you are free to follow your heart. If you have difficulty communicating your ideas to colleagues, bosses, clients or consultants, that will be their loss, not yours.

Dilip Sarwate
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