Wann ist Aliasing eine gute Sache?

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In Hammings Buch " The Art of Doing Science and Engineering" erzählt er die folgende Geschichte:

Eine Gruppe an der Naval Postgraduate School modulierte ein sehr hochfrequentes Signal bis zu dem Punkt, an dem sie es sich leisten konnten, es abzutasten, gemäß dem Abtasttheorem, wie sie es verstanden. Aber ich erkannte, wenn sie die hohe Frequenz geschickt abtasteten, würde der Sampling-Vorgang selbst sie heruntermodulieren (alias). Nach einigen Tagen der Auseinandersetzung entfernten sie das Rack mit der Frequenzverringerung, und der Rest der Ausrüstung lief besser!

Gibt es andere Möglichkeiten, Aliasing als primäre Technik für die Verarbeitung eines Signals zu verwenden, anstatt einen Nebeneffekt zu vermeiden?

sampling bandpass Datageist
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Achten Sie auf den Integrationseffekt (Apertureffekt), der eine Grenzbandbreite für den Wandler bewirkt . Eingehende Signale, die aufgrund des Integrationseffekts über der Grenzbandbreite liegen, werden nicht erfasst, sodass Aliasing bei zu hohen Frequenzen nicht verwendet werden kann.

rwong

@rwong Sehr interessant.

Datageist

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Bei dem in der Frage zitierten Text handelt es sich um die Verwendung von Bandpass-Abtastung oder Unterabtastung .

Um eine Aliasing- Verzerrung zu vermeiden , muss das interessierende Signal ein Bandpass sein . Dies bedeutet, dass das Leistungsspektrum des Signals zwischen nur ungleich Null ist . $f_L < |f| < f_H$

Wenn wir das Signal mit einer Rate abtasten, bedeutet die Bedingung, dass sich die nachfolgenden wiederholten Spektren nicht überlappen, dass wir ein Aliasing vermeiden können. Die wiederholten Spektren treten bei jedem ganzzahligen Vielfachen von . $f_s$ $f_s$

Mathematisch können wir diese Bedingung schreiben, um Aliasing-Verzerrungen zu vermeiden

\frac{2 f_{H}}{n} \leq f_{s} \leq \frac{2 f_{L}}{n - 1}

$\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}$

Dabei ist eine ganze Zahl, die erfüllt $n$

1 \leq n \leq \frac{f_{H}}{f_{H} - f_{L}}

$1 \le n \le \frac{f_H}{f_H - f_L}$

Es gibt eine Reihe gültiger Frequenzbereiche, mit denen Sie dies tun können, wie in der folgenden Abbildung dargestellt (entnommen aus dem Wikipedia-Link oben).

Bildbeschreibung hier eingeben

Wenn das Problem im obigen Diagramm in den grauen Bereichen liegt, können wir Aliasing-Verzerrungen bei der Bandpassabtastung vermeiden. Obwohl das abgetastete Signal verzerrt ist, haben wir die Form des Signalspektrums nicht verzerrt.

Peter K.
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Peter, könnten Sie Ihre Antwort erweitern, indem Sie mehr Details und einige Illustrationen aus den verlinkten Artikeln bereitstellen? Ich sage das, weil das PDF ein Link zu einer persönlichen Webseite ist und wenn jemand die Datei herunterfährt, verliert die Antwort jegliche Hilfsbereitschaft! Im Allgemeinen hilft es, wenn man die Informationen aus den Links paraphrasiert, so dass die Antwort autark und immun gegen Linkfäule ist. Ich glaube auch, dass das OP nach anderen Anwendungen als der Bandpass-Abtastung gefragt hat, bei denen der Aliasing-Effekt bewusst zu seinem Vorteil genutzt wird.

Lorem Ipsum

@yoda: Werde tun. Momentan keine Zeit (muss mähen!), Aber wir werden heute darauf zurückkommen.

Peter K.

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Vielen Dank! Re: mähen, da Sie einen Rasen und vielleicht auch einen Garten haben, könnte ich Sie für die Gartenanlage interessieren ? Ich bin ein Moderator auf dieser Website und wir haben einige gute Ratschläge zum Wachsen / Pflegen von Rasenflächen und zum Reparieren von Rasenflächen . Bitte überprüfen Sie uns und zögern Sie nicht, Fragen zu Gemüse, Blumen, Bäumen, Kompost usw. zu stellen!

Lorem Ipsum

@yoda: Danke für die Bearbeitung. Wusste nicht, dass man so Displaystil bekommt! :-)

Peter K.

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Sie können eine Unterabtastung durchführen, ohne dass das Signal Bandpässe aufweist, solange die Bildfrequenz des gewünschten Signals vor dem Sampler ausgeblendet wird. Mit den richtigen Frequenzverhältnissen könnten Sie zwei Signale abtasten, eines über und eines unter der Abtastrate, solange sich die Signale und die Bilder nach dem Aliasing nicht überlappen. Beachten Sie auch, dass Unterabtastung weitaus weniger tolerant gegenüber Abtastjitter ist.

hotpaw2

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Ein Beispiel, das mir in den Sinn kommt, ist die digitale Demodulation. Der optimale Detektor für ein lineares Modulationsschema ist das angepasste Filtern und Dezimieren auf die mittlere Abtastung jedes Symbols.

Die angepasste Filterung kann die Bandbreite möglicherweise nicht sehr gut reduzieren, wir möchten jedoch weiterhin Entscheidungen mit der Symbolrate treffen.

Das Aliasing von Energie ist in diesem Fall Teil der Rekonstruktion der modulierten Symbole.

Der entscheidende Punkt ist, dass die Energie in der richtigen Phase kohärent aliasiert sein muss, dh das Timing ist entscheidend.

Mark Borgerding
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Die Superauflösung ist ein weiterer Bereich, in dem Aliasing erforderlich ist. Um es besser auszudrücken, sollte das optische System nicht das schwächste Glied in der Kette sein (und optische Komponenten, die effektiv Aliasing verhindern, wie z. B. optische Moire-Filter, sollten nicht Teil davon sein Die Kette)

Aurelio
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Ein anderes Mal, wenn Aliasing kein Problem darstellt, ist das Entwerfen von Tiefpassfiltern, die zur Dezimation verwendet werden. Sie können nach dem Dezimierungsvorgang ein gewisses Maß an Aliasing zulassen, um die Einschränkungen für die Leistung des Filters zu lockern, was zu einem Entwurf niedrigerer Ordnung führt. Anstatt die Stoppbandkante auf die Nyquist-Frequenz nach der Dezimation zu setzen, können Sie sie gerade so weit herausschieben, dass sie nicht in das Durchlassband des Filters zurückfällt (und somit Ihr interessierendes Signal verfälscht).

$f_s$ $D$ $f_p$ $\frac{f_s}{2 D}$

Da ich behauptet habe, dass Sie zulassen können, dass das Stoppband über die dezimierte Nyquist-Frequenz hinaus blutet, sollten Sie sich daran erinnern, wie Aliasing in der zweiten Nyquist-Zone funktioniert: Beliebige Inhalte mit der Frequenz $\frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\frac{f_s}{2 D} - \Delta f$ $f_{stop} = \frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\Delta f$

f_{s t O p_{ein l ich ein s e d}} = \frac{f_{s}}{2 D} - Δ f \geq f_{p}

$f_{stop_{aliased}} = \frac{f_s}{2 D} - \Delta f \ge f_p$

Δ f \leq \frac{f_{s}}{2 D} - f_{p}

$\Delta f \le \frac{f_s}{2 D} - f_p$

Wenn das nach dem Dezimieren auftretende Signal immer noch ein ordentliches Maß an Überabtastung enthält ( es gibt einige Gründe, warum Sie dies tun würden ), können Sie das Sperrband um einen nicht trivialen Betrag herausschieben. Als quantitatives Maß können Sie die Übergangsverhältnisse der Filterspezifikationen "naiv" und "entspannt" betrachten:

T_{n ein ich v e} = \frac{f_{p}}{f_{s t O p_{n ein ich v e}}} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D}} = \frac{2 D f_{p}}{f_{s}}

$T_{naive} = \frac{f_p}{f_{stop_{naive}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}} = \frac{2 D f_p}{f_s}$

T_{r e l ein x e d} = \frac{f_{p}}{f_{s t O p_{r e l ein x e d}}} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D} + (\frac{f_{s}}{2 D} - f_{p})} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{D} - f_{p}}

$T_{relaxed} = \frac{f_p}{f_{stop_{relaxed}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D} + (\frac{f_s}{2 D} - f_p)} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}$

\frac{T_{r e l ein x e d}}{T_{n ein ich v e}} = \frac{\frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{D} - f_{p}}}{\frac{2 D f_{p}}{f_{s}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{\frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}}{\frac{2 D f_p}{f_s}}$

\frac{T_{r e l ein x e d}}{T_{n ein ich v e}} = \frac{1}{2 - \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{1}{2 - \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}}}$

Dieser letzte Ausdruck gibt Ihnen eine kompakte Darstellung der Verbesserung des Übergangsverhältnisses, die durch Lockerung der Filterspezifikation auf diese Weise erzielt werden kann, parametrisiert durch das Verhältnis des Durchlassbereichs des Filters (dh der Bandbreite des interessierenden Signals) zur Nyquist-Frequenz nach der Dezimation . Durch Auftragen dieses Verhältnisses als Funktion der Durchlassfrequenz (normalisiert durch die Abtastrate nach der Dezimation) erhalten Sie:

$\frac{f_s}{D}$

Jason R
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Aliasing kann unter bestimmten Bedingungen durchaus sinnvoll sein.

Betrachten Sie es so: Nehmen wir an, Ihre Abtastrate beträgt 100 Hz. Sagen wir auch, Sie haben irgendwo da draußen ein Signal, das von 990 bis 1010 Hz reicht. (Die Gesamtbandbreite beträgt also 20 Hz, und sie ist auf 1000 Hz zentriert.)

Ok toll, was jetzt?

Nehmen wir an, Sie haben dieses Signal mit Ihrer 100-Hz-Rate abgetastet. Alles, was passiert, ist, dass Ihr Signal (von 990-1010, zentriert bei 1000 Hz) kopiert und mit ganzzahligen Vielfachen von 100 verschoben wird, richtig?

Jetzt haben Sie plötzlich eine Kopie Ihres ursprünglichen 990-1010-Signals, mit der Ausnahme, dass Sie jetzt eine Kopie mit den Werten 900, 800, 700, 600 usw. usw. und außerdem mit den Werten 1100, 1200, 1300 usw. usw. haben das selbe natürlich. So belegt Ihre Kopie Ihres Signals, das bei 900 zentriert ist, 890-910 Hz. Die Kopie mit 800 Hz belegt 790-810 Hz usw. Sie haben auch eine Kopie im Basisband (dh sie ist bei 0 Hz zentriert und belegt daher -10 bis 10 Hz).

Wann ist das nützlich? Schauen Sie sich an, was Sie gerade getan haben - Sie haben es gerade geschafft, Ihr Signal bei 1000 Hz aufzunehmen, es im Basisband abzustellen und das alles mit einem Sampler, der nur bei 100 Hz läuft! Und rate was! Laut Nyquist hast du das alles legal gemacht!

Dies liegt daran, dass Nyquist nicht sagt, dass Sie mindestens das Doppelte der maximalen Frequenz abtasten müssen - falsch falsch falsch falsch falsch! (Aber sehr häufiges Missverständnis.) Er sagt, Sie müssen mindestens die doppelte maximale Bandbreite abtasten Ihres Signals abtasten, die in diesem Fall 20 Hz beträgt.

Bewerbungen? Nun, viele Basisstationen für Mobiltelefone verwenden tatsächlich diese "Undersampling" -Technik. Das Handy-Signal befindet sich also in einer hohen Ghz-Reichweite, und die Basisstation tastet im Bereich von Hunderten von MHz ab.

Übrigens, da Nyquist so funktioniert, mag ich den Begriff "Unterabtastung" nicht - denn das bedeutet, dass wir unterabtastet sind. Aber wir sind nicht! Wir folgen Nyquist vollständig und tasten immer mindestens die doppelte maximale Bandbreite des betreffenden Signals ab.

Spacey
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In der bestbewerteten Antwort wurde bereits ausführlich über Unterabtastung gesprochen. Es ist auch etwas irreführend anzunehmen, dass Mobilfunk-Basisstationen direkt mit Hochfrequenz abtasten und Unterabtastung verwenden. Während möglicherweise ein Teil der Unterabtastung verwendet wird, wandeln gute Empfänger in der Regel von HF auf eine Zwischenfrequenz (IF) ab, die zum Abtasten geeignet ist. Unter anderem ist die Abtastung in oberen Nyquist-Zonen sehr viel empfindlicher gegenüber Abtastzeit-Jitter. Sie möchten dies also nicht für ein Signal mit einer Breite von mehreren zehn MHz, das beispielsweise bei 1 bis 2 GHz zentriert ist, tun.

Jason R

Yoda, Danke für die Tipps, das ist mein erster Beitrag. :-) Ich weiß nicht, wovon du redest, ich bin ein leidenschaftlicher Redner / Schriftsteller im Allgemeinen! Ich werde jedoch Großbuchstaben für Akronyme behalten! :-) Jason, für die Basisstationen habe ich Hunderte von MHz nicht Zehner gesagt. Ich habe im Beispiel 20Hz verwendet. Ich habe persönlich an solchen Stationen gearbeitet und sie funktionieren einwandfrei. :-)

Spacey

Wann ist Aliasing eine gute Sache?

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