Was bedeutet es genau, wenn zwei Teile eines Signals korreliert sind?

Ich stolpere ziemlich oft über die Vorstellung, dass zwei oder mehr Teile eines Signals korreliert sind, um halbformell zu beschreiben, dass sie zusammengehören. Beispielsweise neigen bei der Bildverarbeitung dazu, zwei Pixel an einem Kantenmerkmal zu korrelieren, während zwei benachbarte Teile einer 3D-Struktur, die Wassertropfen in einer Partikelsimulation darstellen, weniger korreliert sind. Meine Frage ist, was genau die Idee hinter diesem Begriff ist.

Ja, es kann Sie ziemlich durcheinander bringen, wenn Sie die Grundlagen nicht von Anfang an verstehen. So interpretiere ich Korrelation und es hat für mich funktioniert, was ich beruflich mache.

Beginnen wir mit einem relativ einfachen Beispiel. Schauen Sie sich die folgende Abbildung an (aus dspguide ... dies ist tatsächlich ein großartiges Online-Buch, um die Grundlagen von DSP zu kennen).

Wir haben eine Antenne, die einen kurzen Ausbruch von Funkwellenenergie in eine Richtung sendet. Wenn die sich ausbreitende Welle auf ein Objekt trifft ... wie ein Hubschrauber in dieser Figur, wird ein kleiner Teil der Energie zurück zu einem Funkempfänger reflektiert. Dieser Empfänger befindet sich in der Nähe der Sendeantenne.

Dieser kurze Ausbruch von Funkenergie ist für dieses Beispiel eine kleine dreieckige Form. Wenn das Signal vom Hubschrauber reflektiert und dann zum Empfänger zurückgesendet wird, besteht dieses Signal aus zwei Teilen:

1. Eine verschobene und skalierte Version des übertragenen Impulses und
2. Zufälliges Rauschen, das durch störende Funkwellen, thermisches Rauschen in der Elektronik und andere Faktoren verursacht wird.

Mit diesem Konzept können wir tatsächlich herausfinden, wie weit das Objekt entfernt ist. Da Funksignale ungefähr mit Lichtgeschwindigkeit übertragen werden, ist die Verschiebung zwischen dem gesendeten und dem empfangenen Impuls ein grobes Maß für die Entfernung zum erfassten Objekt.

Als solches ist dies unser allgemeines Problem:

Was ist bei einem Signal bekannter Form der beste Weg, um festzustellen, wo (oder ob) das Signal in einem anderen Signal auftritt?

Der beste Weg, dies zu beantworten, ist die Korrelation .

Es gibt zwei verschiedene Paradigmen für die Berechnung der Korrelation. Die erste heißt Autokorrelation , bei der Sie ein Signal mit verschobenen Zeitversätzen von sich selbst vergleichen. Dieses Paradigma, das wir beschreiben (auch in der Abbildung zu sehen), wird als Kreuzkorrelation definiert , bei der wir mit einem anderen Signal vergleichen , insbesondere dem empfangenen Signal. Wir vergleichen im Wesentlichen das empfangene Signal mit verschobenen Versionen des ursprünglich gesendeten Signals. Grundsätzlich schauen wir uns an, was wir erhalten und was gesendet wurde. Wir nehmen das, was empfangen wurde, und verschieben das ursprünglich gesendete Signal um verschiedene Zeitwerte. Wir führen dann einen Vergleich mit jedem dieser Signale und dem empfangenen Ergebnis durch. Was uns das Höchste gibt Der Wert gibt an, wie weit der Hubschrauber entfernt ist.

Die Amplitude jeder Probe im Kreuzkorrelationssignal ist ein Maß dafür, wie sehr das empfangene Signal an dieser Stelle dem Zielsignal ähnelt . Dies bedeutet, dass im Kreuzkorrelationssignal für jedes im empfangenen Signal vorhandene Zielsignal eine Spitze auftritt. Mit anderen Worten wird der Wert der Kreuzkorrelation maximiert, wenn das Zielsignal mit den gleichen Merkmalen im empfangenen Signal ausgerichtet ist.

Wenn das empfangene Signal Rauschen aufweist, tritt auch das Kreuzkorrelationssignal auf. Es ist eine unvermeidliche Tatsache, dass zufälliges Rauschen wie ein beliebiges Zielsignal aussieht, das Sie auswählen können. Das Rauschen auf dem Kreuzkorrelationssignal misst einfach diese Ähnlichkeit. Mit Ausnahme dieses Rauschens ist die im Kreuzkorrelationssignal erzeugte Spitze zwischen links und rechts symmetrisch. Dies gilt auch dann, wenn das Zielsignal nicht symmetrisch ist.

Eine gute Sache, an die man sich erinnern sollte, ist, dass die Kreuzkorrelation versucht, das Zielsignal zu erkennen, nicht neu zu erstellen. Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass der Peak sogar wie das Zielsignal aussieht. Die Korrelation ist die optimale Technik zum Erfassen einer bekannten Wellenform in zufälligem Rauschen. Um ganz richtig zu sein, ist es nur für zufälliges weißes Rauschen optimal. Die Verwendung der Korrelation zum Erkennen einer bekannten Wellenform wird häufig als angepasste Filterung bezeichnet .

tl;dr- Die Korrelation ist ein Maß dafür, wie sehr ein Signal einem anderen ähnelt . Das Signal kann Bilder, Merkmale, Kanten usw. sein. Es ist einfach ein Maß für die Ähnlichkeit zwischen einem Signal und einem anderen.

Normalerweise bezieht sich dies auf den Autokorrelationskoeffizienten.

$\pi$

Betrachten wir nun das Autokorrelationsintegral:

$\tau$$\tau$$\pi$

Dies wird oft umgangssprachlich verwendet, um anzuzeigen, dass bestimmte Teile eines Signals sehr ähnlich oder sogar identisch sind.

Das Analogon für zwei verschiedene Signale wäre die Kreuzkorrelation. Es kann verwendet werden, um die Ähnlichkeit zweier getrennter Signale zu untersuchen.

$\tau$$\tau$$\tau$

Die Korrelation zwischen zwei Signalen bedeutet, dass Sie etwas über eines von ihnen sagen können, indem Sie das andere beobachten.

$E[xy]$