Grundlegendes zur Multiratenfilterung

Ich werde zuerst Frage 2 beantworten, und hoffentlich hilft das zu erklären, was mit Frage 1 los ist.

Wenn Sie ein Basisbandsignal abtasten, gibt es implizite Aliase des Basisbandsignals bei allen ganzzahligen Vielfachen der Abtastfrequenz, wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Assymetrisches Basisbandsignal mit Aliasen Das durchgezogene Bild ist das ursprüngliche Basisbandsignal, und die Aliase werden durch die gestrichelten Bilder dargestellt. Ich habe ein assymetrisches (dh komplexes) Signal gewählt, um die Inversion zu demonstrieren, die bei ungeraden Vielfachen der Abtastfrequenz auftritt.

Sie könnten fragen: "Existieren die Aliase wirklich?" Es ist eine philosophische Frage. Ja, im mathematischen Sinne existieren sie, weil alle Aliase (einschließlich des Basisbandsignals) nicht voneinander zu unterscheiden sind.

Wenn Sie ein Upsample durchführen, indem Sie Nullen zwischen die ursprünglichen Samples einfügen, erhöhen Sie effektiv die Sampling-Rate um die Upsample-Rate. Wenn Sie also den Abtastwert um den Faktor zwei erhöhen (wobei zwischen jedem Abtastwert eine Null steht), erhöhen Sie Ihre Abtastrate und die Nyquist-Rate um den Faktor 2, was zu dem folgenden Bild führt. Upsampled assymetrisches Basisbandsignal

Wie Sie sehen können, ist einer der impliziten Aliase im vorherigen Bild jetzt explizit geworden. Wenn Sie die Samples FFT, werden sie angezeigt. Ein nicht strenger Beweis dafür, dass sich die DFT-Transformation nicht grundlegend ändert, ist unten angegeben.

Wenn Sie nun die beiden expliziten Aliase haben und nur den Basisband-Alias möchten, müssen Sie den Tiefpassfilter verwenden, um den anderen Alias zu entfernen. Manchmal verwenden die Leute jedoch die anderen Aliase, um für sie zu modulieren. In diesem Fall würden Sie einen Hochpassfilter verwenden, um das Basisbandsignal zu entfernen. Ich hoffe das beantwortet Frage 2.

Frage 1 ist im Grunde das Gegenteil von Frage 2. Angenommen, Sie befinden sich bereits in der im zweiten Bild gezeigten Situation. Es gibt zwei Möglichkeiten, um das gewünschte Basisbandsignal zu erhalten. Der erste Weg besteht darin, ein Tiefpassfilter zu verwenden (wodurch der höhere Alias entfernt wird) und dann um den Faktor zwei zu dezimieren. Das bringt Sie zu Bild 1.

Der zweite Weg ist das Hochpassfiltern (Entfernen des Basisband-Alias) und anschließendes Dezimieren um den Faktor zwei. Der Grund dafür ist, dass Sie das Signal absichtlich in das Basisband einbinden und Sie so wieder zu Bild 1 bringen.

Warum willst du das so machen? Da die Signale in den meisten Situationen nicht gleich sind, können Sie auswählen, welches Signal Sie möchten, oder beide getrennt ausführen.

Wenn Sie Multi-Rate-Verarbeitung studieren, empfehle ich dringend, "Multirate Signal Processing for Communication Systems" von Frederic Harris zu erwerben. Er macht einen wirklich guten Job darin, die Theorie zu erklären, ohne die Mathematik zu vernachlässigen, und gibt auch viele praktische Ratschläge.

BEARBEITEN: Das absichtliche Abtasten eines Signals mit weniger als der Nyquist-Rate wird als Unterabtastung bezeichnet . Das Folgende ist mein Versuch, mathematisch zu erklären, warum sich die FFT beim Upsampling nicht ändert. "x [n]" ist der ursprüngliche Satz von Abtastwerten, "u" ist der Upsampling-Faktor und "x '[n]" ist der hochgetastete Satz von Abtastwerten.

\begin{array}{rcl} X [k] & = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ X^{'} [k] & = & \sum_{n = 0}^{u N - 1} x^{'} [n] e^{- i 2 π k n / u N}, { & x & ^{'} [n] = 0, n \neq m u, m \in (0.. N - 1) \\ x & ^{'} [n] = x [n / u], n = m u \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x^{'} [u n] e^{- i 2 π k u n / u N} \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ = & X [k] \end{array}

$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$

Entschuldigung für die hässliche Formatierung. Ich bin ein LaTex-Neuling.

EDIT 2: Ich hätte darauf hinweisen sollen, dass die DFTs von x [n] und x '[n] nicht wirklich identisch sind. Die Abtastrate ist höher, was, wie ich im vorherigen Teil der Antwort erklärt habe, dazu führt, dass Aliase "belichtet" werden. Ich habe versucht, auf meine nicht-mathematische Weise darauf hinzuweisen, dass die DFTs, abgesehen von der Abtastrate, gleich sind.

Jim Clay
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Dies ist eine fantastische Antwort. Vielen Dank. Sehr klar.

Learnvst

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$U$

@JasonR Ich glaube, dass die Bearbeitung im Grunde genommen korrekt ist, obwohl ich nicht darauf hingewiesen habe, dass sich die Abtastrate ändert, was selbst eine wichtige Änderung ist. Ich glaube, wir unterscheiden uns darin, dass Sie aus einer normalisierten Perspektive darüber nachdenken, was tatsächlich dazu führt, dass das, was passiert, wie "Komprimierung" und "Wiederholung" aussieht. Wie ich im ursprünglichen Teil meiner Antwort zu erklären versucht habe, besteht eine andere Sichtweise darin, dass wir einfach die Abtastrate erhöhen, wodurch die anderen Aliase freigelegt werden.

Jim Clay

@JasonR Wenn ich jedoch einen Fehler in den Gleichungen gemacht habe, weisen Sie mich bitte darauf hin, und ich werde ihn gerne beheben. Vielen Dank.

Jim Clay

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