Analytischer Ausdruck für die Eigenvektoren einer reellen, symmetrischen 3x3-Matrix?

Ich schreibe einen Algorithmus, der 3D-Bilder basierend auf dem lokalen Trägheitsmoment verarbeitet.

Ich habe eine 3x3 echte symmetrische Matrix, aus der ich die Eigenwerte ermitteln muss. Ich habe eine Vielzahl von generischen Algorithmen für die Diagonalisierung von Matrizen gefunden, konnte aber nicht wissen, ob es einen analytischen Ausdruck für die 3 Eigenvektoren einer solchen Matrix gibt.

Würde jemand, der sich mit Mathematik auskennt, das wissen?

BEARBEITEN

Für die Aufzeichnung hier ist, was ich auf der Frage selbst gefunden habe. Wie Matthias Odisio sagte, kann man nicht zu einem einfachen analytischen Ausdruck kommen, sobald man eine 3x3-Matrix hat.

Ich habe jedoch ein spezielles Papier für den Sonderfall gefunden, eine 3x3-Einsiedlermatrizen, in der verschiedene numerische Spezialansätze verglichen werden:

http://arxiv.org/abs/physics/0610206

Hier ist der C- und Fortran-Code des Papiers:

http://www.mpi-hd.mpg.de/personalhomes/globes/3x3/index.html

3d matrix Jean-Yves
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Antworten:

Wolfram | Alpha hat solche Dinge einfach gemacht :

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Matthias Odisio
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Nett. Mir war nicht bewusst, dass Sie solche Dinge im kostenlosen Online-Tool tun können. Ich muss es überprüfen, um zu sehen, wie viel Mathematica es Ihnen gibt.

Jason R

Autsch! Ich denke, deshalb wenden sich die Leute der numerischen Auflösung zu. Dies ist kaum lesbar. Darüber hinaus sehe ich dort imaginäre Zahlen. Ich denke, ich hätte hinzufügen sollen, dass a, bc, d, e und f real waren. Schaffst du das in Mathematica?

Jean-Yves

Mathematica bietet eine umfassende Möglichkeit, "grundlegende Operatoren" (Sqrt, Power, Log usw.) für komplexe Zahlen (Verzweigungsprobleme usw.) zu definieren. Seien Sie versichert, dass unabhängig von den reellen Werten, durch die Sie die Symbole 'a', ..., 'f' ersetzen, die Eigenvektoren real sind (dh ihre Imaginärteile sind kleiner als beispielsweise 10 ^ -12).

Matthias Odisio

Ich habe herausgefunden, dass Sie solche Annahmen mit Syntax wie "a [Element] Reals" einbauen können. Aber von jetzt an brauche ich eine Mathematica-Lizenz, die ich nicht habe;)

Jean-Yves

Es ist notwendig, die Mengen mit komplexen Zahlen auszudrücken, auch wenn die Einträge a, ..., f reelle Zahlen sind. Ein Kollege hat mich auf en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis verwiesen, was das Problem erklärt.

Matthias Odisio