Ist das Dirac-Delta-Signal (Impulssignal) ein Leistungssignal oder ein Energiesignal?

Es tut mir so leid, wenn diese Frage sehr grundlegend ist. Der Dirac-Impuls hat eine endliche Fläche, dh = 1. Aber ich habe gehört, dass undefiniert ist. Der Bereich unter ist also ebenfalls undefiniert und das Signal existiert nicht in allen Zeiten so dass es kein Leistungssignal sein kann. Meine Vermutung ist also weder ein Strom- noch ein Energiesignal. Habe ich recht?$|\delta(t)|^2$$|\delta(t)|^2$$t$

[Es wurde ein Verweis auf den Unmöglichkeitssatz von Schwartz für Vertriebsprodukte hinzugefügt]

Das kontinuierliche Dirac-Delta wird nicht als echte Funktion oder Signal betrachtet, sondern als Verteilung. Von seiner Wikipedia-Seite :$\delta$

Die Delta-Funktion kann auch im Sinne von Verteilungen genau wie oben im eindimensionalen Fall definiert werden. [25] Trotz der weit verbreiteten Verwendung in technischen Kontexten sollte (2) mit Vorsicht manipuliert werden, da das Produkt von Verteilungen nur unter recht engen Umständen definiert werden kann .

Es kann so definiert werden, dass für jede Funktion die einige wichtige Eigenschaften erfüllt, und für :$f$$a\in \mathbb{R}$

$$\int f(t)\delta(t-a)dt=f(a).$$

Vom besten Wissen und Gewissen, werden diese wichtigen Eigenschaften nicht erfüllt , so dass man nicht direkt ersetzt kann durch und ein aussagekräftiges Ergebnis erhalten. Soweit bekannt, ist das Produkt zweier Dirac-Verteilungen nicht genau definiert, es sei denn, man spricht von dimensionalen Versionen oder sogenannten "formalen" Manipulationen, wie sie beispielsweise in der Physik verwendet werden, oder von komplizierterer Mathematik. Nicholas Wheeler liefert einen kurzen Bericht über die vereinfachte Herstellung von Dirac-Delta-Funktionsidentitäten . Wenn man tiefer graben möchte, würde ich die Colombeau-Theorie der verallgemeinerten Funktionen von Ta Ngoc Tri, 2005 , vorschlagen :$\delta$$f$$\delta$$n$

Kurz nach der Einführung seiner eigenen Theorie veröffentlichte L. Schwartz eine Arbeit, in der er ein Unmöglichkeitsergebnis (siehe [Sch54]) über das Produkt zweier willkürlicher Verteilungen zeigte.

Ein Ergebnis ist das Schwartz-Unmöglichkeitsergebnis . Es heißt (irgendwie), dass man erhält, wenn man die Ableitung kontinuierlich differenzierbarer Funktionen umfassen will, während man Leibniz 'Ableitungsregel beibehält .$\delta^2(|x|)=0$

Aus informeller Sicht, die manchmal in DSP (und in der Physik) verwendet wird, ist dieses "Produkt" meines Wissens weder Energie noch Energie. Aus logischer Sicht könnte man, wenn es nicht existiert, dieses "Produkt" mit vielen Eigenschaften beeinflussen ...

Einige verwandte Beiträge:

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$\delta(x)$ existiert nicht wirklich überhaupt für einen bestimmten . Wie Laurent Duval sagte, ist Dirac keine -Funktion, sondern die gesamte Zuordnung ist eine funktionale Zuordnung von Funktionen zu Werten der Funktion, die an einem bestimmten Punkt ausgewertet werden. Es wäre wohl sinnvoll, dies mit einem dedizierten zu reflektieren Symbol, wie (Der Grund ist es sinnvoll , zu schreiben , als ob es war ein Funktion ist das jede$x$$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

$$\backslash f \mapsto f(a) \equiv ``\int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\: f(t) \cdot \delta(t-a)"$$ $$\int\!\!\!\!\delta_a\mathrm{d}t\: f(t).$$ $\delta$$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$Die quadratintegrierbare Funktion führt auf ähnliche Weise zu einer Funktion, nämlich Das ist tatsächlich nur das Skalarprodukt zwischen und ; Der Funktionsraum ist ein Hilbert-Raum. Der Vorteil der Dirac-Delta-Notation besteht darin, dass Sie Überlagerungen solcher Realfunktionsfunktionalen und Dirac-Funktionalen schreiben können, beispielsweise das Hochpass-Impulsantwort- $g$ $$\gamma : L^2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}, \quad \gamma(f) = \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\:f(t)\cdot g(t).$$ $L^2$$f$$g$$L^2$ $$\delta(t) - \sqrt{\frac{\omega_0}{2\pi}}\cdot\exp(-t^2\cdot\tfrac{\omega_0^2}2).$$ Das ist eine Funktion, die Sie in der Praxis nie wirklich implementieren können, nur annähernd, aber sie erfasst das Konzept eines Hochpassfilters, das sich nicht wirklich mit der Impulsantwort als solcher befasst, sondern durch das Ergebnis der Faltung mit der tatsächlichen Realität. Weltsignale, und es ist die Faltung, die das Integral liefert, das die Bedeutung des definiert .)$\delta$

Da keine Funktion ist, gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass es sinnvoll sein könnte, zu schreiben, da in diesem Ausdruck das Delta nicht genau einmal unter einem Integral auftritt, das über seine Variable läuft . Selbst wenn Sie ein Integral darum schreiben würden, würde es immer zwei Deltas mit demselben Parameter enthalten, und das ist nicht definiert.$\delta$$|\delta(t)|^2$

Zusammenfassung: Sie haben Recht, Dirac ist kein Signal, weder Kraft noch Energie.

Sie haben Recht, dass das Quadrat eines Dirac-Delta-Impulses nicht definiert ist, sodass Energie und Leistung für Signale, die Dirac-Impulse enthalten, nicht auf die übliche Weise definiert werden können.

In Analogie zu zeitdiskreten Signalen ist es jedoch üblich, Energie und Leistung eines Signals, das aus Dirac-Impulsen besteht, folgendermaßen zu definieren. Wenn ein Signal gegeben ist durch$x(t)$

$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(t-t_n)\tag{1}$$

dann kann seine Energie definiert werden als

$$E_x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|a_n|^2\tag{2}$$

und seine Kraft kann definiert werden durch

$$P_x=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\sum_{n:\;|t_n|<T}|a_n|^2\tag{3}$$

Unter Verwendung der Definitionen und kann ein Signal, das aus Dirac-Impulsen besteht, entweder ein Energiesignal ( ) oder ein Leistungssignal ( , ) oder keines der beiden sein zwei (beide und existieren nicht).$(2)$$(3)$$E_x<\infty$$E_x\rightarrow\infty$$P_x<\infty$$(2)$$(3)$

Sie haben hier nette Antworten, aber ich versuche es auf einfache Weise zu erklären: Ein Impuls ist jedes Signal, das bis auf einen kurzen Punkt beliebiger Form völlig Null ist. Beispielsweise muss ein Impuls an einen Mikrowellensender möglicherweise im Pikosekundenbereich liegen, da die Elektronik in Nanosekunden reagiert. Im Vergleich dazu kann ein Vulkan, der jahrelang ausbricht, ein perfekter Impuls für geologische Veränderungen sein, die Jahrtausende dauern. Mathematiker möchten nicht durch ein bestimmtes System eingeschränkt werden und verwenden häufig den Begriff Impuls, um ein Signal zu bezeichnen, das kurz genug ist, um ein Impuls für ein System zu sein! Das ist ein Signal, das unendlich eng ist, und wieder definieren Mathematiker einen Impuls als: 1. Signal, das unendlich kurz ist 2. Der Impuls, der zum Zeitpunkt Null und 3. auftritt Der Impuls muss eine Fläche von Eins haben [Von Steven W. Smith]