Was ist die physikalische Bedeutung der Faltung zweier Signale?

Wenn wir 2 Signale falten, erhalten wir ein drittes Signal. Was stellt dieses dritte Signal in Bezug auf die Eingangssignale dar?

Es gibt keine besondere "physikalische" Bedeutung für die Faltungsoperation. Die Hauptanwendung der Faltung in der Technik ist die Beschreibung der Ausgabe eines linearen, zeitinvarianten (LTI) Systems. Das Eingabe-Ausgabe-Verhalten eines LTI-Systems kann über seine Impulsantwort charakterisiert werden , und die Ausgabe eines LTI-Systems für jedes Eingangssignal kann als Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort des Systems ausgedrückt werden.$x(t)$

Wenn nämlich das Signal an ein LTI-System mit einer Impulsantwort h ( t ) angelegt wird , ist das Ausgangssignal:$x(t)$$h(t)$

Wie gesagt, es gibt nicht viel physikalische Interpretation, aber man kann sich eine Faltung qualitativ so vorstellen, als würde man die in vorhandene Energie in gewisser Weise zeitlich "verschmieren" , abhängig von der Form der Impulsantwort h ( t) ) . Auf technischer Ebene (strenge Mathematiker würden dies nicht befürworten) können Sie sich einen Einblick in die Struktur des Integranden selbst verschaffen. Sie können sich den Ausgang y ( t ) als die Summe einer unendlichen Anzahl von Kopien der Impulsantwort vorstellen, die jeweils um eine geringfügig unterschiedliche Zeitverzögerung ( τ ) verschoben und entsprechend dem Wert des Eingangssignals auf den Wert von t skaliert sind$x(t)$$h(t)$$y(t)$$\tau$$t$das entspricht der Verzögerung: .$x(\tau)$

Diese Art der Interpretation ist vergleichbar mit der zeitdiskreten Faltung (wie in Atul Ingles Antwort diskutiert) bis zu einer unendlich kurzen Abtastperiode, die wiederum nicht vollständig mathematisch fundiert ist, aber eine anständige intuitive Methode zur Visualisierung der Aktion darstellt für ein zeitkontinuierliches System.

Eine besonders nützliche intuitive Erklärung, die für diskrete Signale gut geeignet ist, ist, Faltung als "gewichtete Summe von Echos" oder "gewichtete Summe von Erinnerungen" zu betrachten.

Angenommen, das Eingangssignal für ein diskretes LTI-System mit der Übertragungsfunktion ist ein Delta-Impuls δ ( n - k ) . Die Faltung ist y ( n $h(n)$$\delta(n-k)$ Dies ist nur ein Echo (oder Speicher) der Übertragungsfunktion mit einer Verzögerung von k Einheiten.

Stellen Sie sich nun ein beliebiges Eingangssignal als Summe der gewichteten δ- Funktionen vor. Dann ist die Ausgabe eine gewichtete Summe von verzögerten Versionen von h (n).$x(n)$$\delta$

Wenn beispielsweise , dann schreibe x ( n ) = δ ( n ) + 2 δ ( n - 1 ) + 3 δ ( n - 2 ) .$x(n) = \{1, 2, 3\}$$x(n) = \delta(n) + 2 \delta(n-1) + 3 \delta(n-2)$

Die Systemausgabe ist eine Summe der Echos , h ( n - 1 ) und h ( n - 2 ) mit den entsprechenden Gewichten 1, 2 und 3.$h(n)$$h(n-1)$$h(n-2)$

Also ist .$y(n) = h(n) + 2h(n-1)+3h(n-2)$

Eine gute intuitive Methode zum Verständnis der Faltung besteht darin, das Ergebnis der Faltung mit einer Punktquelle zu betrachten.

Die 2D-Faltung eines Punktes mit der fehlerhaften Optik des Hubble-Weltraumteleskops erzeugt beispielsweise das folgende Bild:

Stellen Sie sich nun vor, was passiert, wenn ein Bild zwei (oder mehr) Sterne enthält: Sie erhalten dieses Muster zweimal (oder mehr), zentriert auf jeden Stern. Die Leuchtkraft des Musters hängt mit der Leuchtkraft eines Sterns zusammen. (Beachten Sie, dass ein Stern praktisch immer eine Punktquelle ist.)

Diese Muster sind im Grunde genommen die Multiplikation der Punktquelle mit dem gewundenen Muster, wobei das Ergebnis so am Pixel gespeichert wird, dass es das Muster reproduziert, wenn das resultierende Bild in seiner Gesamtheit betrachtet wird.

Meine persönliche Art, einen Faltungsalgorithmus zu visualisieren, ist die einer Schleife auf jedem Pixel des Quellbilds. Bei jedem Pixel multiplizieren Sie mit dem Wert des gewundenen Musters und speichern das Ergebnis auf dem Pixel, dessen relative Position dem Muster entspricht. Tun Sie dies für alle Pixel (und addieren Sie die Ergebnisse für alle Pixel), und Sie erhalten das Ergebnis.

$x(k)$$k$$x$

Welches ist

$x(k)dk$

$dk$

$t$$t-k$$h(u)$$u$$t-k$$k$$h(t-k)$$x(k)dk$$x(k)h(t-k)dk$

Der Gesamteffekt der Musik, die wir hören, wird also der integrierte Effekt aller Auswirkungen sein. Auch das von negativer Unendlichkeit bis plus Unendlichkeit. Welches ist, was als Faltung bekannt ist.

Sie können sich Faltung auch als Verschmieren / Glätten eines Signals durch ein anderes vorstellen. Wenn Sie ein Signal mit Impulsen und ein anderes Signal, beispielsweise einen einzelnen Rechteckimpuls, haben, werden die Impulse verwischt oder geglättet.

Ein anderes Beispiel ist, dass zwei gefaltete Rechteckimpulse als abgeflachtes Trapez herauskommen.

Wenn Sie ein Bild mit einer Kamera aufnehmen, deren Objektiv defokussiert ist, führt dies zu einer Faltung des fokussierten Bildes mit der Punktstreufunktion des Defokus.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe eines Würfelpaares ist die Faltung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der einzelnen Würfel.

Lange Multiplikation ist Faltung, wenn Sie nicht von einer Stelle zur nächsten tragen. Und wenn Sie eine der Zahlen umdrehen. {2, 3, 7} in Verbindung mit {9, 4} ist {8, 30, 55, 63}.

      2   3   7
   X      4   9
---------------
     18  27  63 
  8  12  28
---------------
  8  30  55  63

(Sie können die Multiplikation beenden, indem Sie die "6" von 63 in die 55 tragen und so weiter.)

In Signalen und Systemen wird Faltung normalerweise mit Eingangssignal und Impulsantwort verwendet, um ein Ausgangssignal (drittes Signal) zu erhalten. Es ist einfacher, Faltung als "gewichtete Summe vergangener Eingaben" zu betrachten, da vergangene Signale auch die aktuelle Ausgabe beeinflussen.

Ich bin mir nicht sicher, ob dies die Antwort ist, nach der Sie gesucht haben, aber ich habe kürzlich ein Video dazu gemacht, weil es mich lange gestört hat. https://www.youtube.com/watch?v=1Y8wHa3fCKs&t=14s Hier ist ein kurzes Video. Bitte entschuldigen Sie mein Englisch lol.

Eine andere Möglichkeit, Faltung zu betrachten, besteht darin, zwei Dinge zu berücksichtigen:

• DATA - Mengen, die sicherlich durch Lärm verfälscht wurden - und an zufälligen Positionen (in Zeit, Raum, Name)
• MUSTER = etwas Wissen darüber, wie Informationen aussehen sollten

Die Faltung von DATA mit dem (spiegelsymmetrischen) MUSTER ist eine weitere Größe, die auswertet, wie wahrscheinlich es ist, dass sich das MUSTER an jeder Position innerhalb der DATA befindet.

Technisch gesehen ist diese Größe an jeder Position die Korrelation (dies ist der Spiegel des MUSTERS) und misst somit die logarithmische Wahrscheinlichkeit unter einigen allgemeinen Annahmen (unabhängiges Gaußsches Rauschen). Die Faltung erlaubt es, sie an jeder Position (im Raum, in der Zeit ...) parallel zu berechnen.

$g$$f$$g*f$

Die physikalische Bedeutung ist, dass ein Signal ein LTI-System durchläuft! Faltung ist definiert als Flip (eines der Signale), Shift, Multiplikation und Summe. Ich werde meine Intuition über jeden erklären.

1. Warum schalten wir eines der Signale in der Faltung um? Was bedeutet das?

Denn der letzte Punkt in der Darstellung des Eingangssignals ist tatsächlich der erste, der in das System eintritt (beachten Sie die Zeitachse). Die Faltung ist für linear-timerinvariante Systeme definiert. Alles hängt mit der Zeit zusammen und wie wir sie in der Mathematik darstellen. Es gibt zwei Signale in Faltung, eines repräsentiert das Eingangssignal und eines repräsentiert die Systemantwort. Die erste Frage lautet hier: Was ist das Signal der Systemantwort? Die Systemantwort ist die Ausgabe des Systems in einer bestimmten Zeit tauf einen Eingang mit nur einem Nicht-Null-Element in einer bestimmten Zeit t(Impulssignal, um das verschoben wird t).

2. Warum werden die Signale Punkt für Punkt multipliziert?

Wir beziehen uns wieder auf die Definition des Signals der Systemantwort. Wie gesagt, ist es das Signal, das durch Verschieben einer Impulsfunktion tund Aufzeichnen des Ausgangs für jede dieser Funktionen gebildet wird t's. Wir können uns das Eingangssignal auch als Summe von Impulsfunktionen mit unterschiedlichen Amplituden (Skalen) und Phasen vorstellen. OK, also ist die Systemantwort auf das Eingangssignal in einer bestimmten Zeit die Signalantwort selbst, multipliziert mit (oder skaliert mit) der Amplitude des Eingangs in dieser bestimmten Zeit.

3. Was bedeutet Verlagerung?

Vor diesem Hintergrund (1 & 2) wird eine Verschiebung durchgeführt, um die Ausgabe des Systems für jeden Eingangssignalpunkt zu einem Zeitpunkt zu erhalten t.

Ich hoffe es hilft euch Leuten!

$x_1$$x_2$$x_2$$x_1$

Es folgt eine längere "Systemsicht": Stellen Sie sich ein Ideal vor ( Stellen platonistische ) Sicht auf einen Punkt vor. Der Kopf einer Stecknadel, sehr dünn, irgendwo im leeren Raum. Sie können es wie einen Dirac (diskret oder kontinuierlich) abstrahieren.

Betrachten Sie es von weitem oder wie eine kurzsichtige Person (wie ich), es wird unscharf. Nun stell dir vor, der Punkt schaut dich auch an. Unter dem Gesichtspunkt "Sichtweise" können Sie auch eine Singularität sein. Der Punkt kann auch kurzsichtig sein, und das Medium zwischen Ihnen beiden (Sie als Singularität und der Punkt) kann nicht transparent sein.

Faltung ist also wie eine Brücke über unruhiges Wasser . Ich hätte nie gedacht, dass ich Simon und Garfunkel hier zitieren könnte . Zwei Phänomene, die sich gegenseitig zu ergreifen versuchen. Das Ergebnis ist die Unschärfe der einen von der anderen, symmetrisch. Die Unschärfen müssen nicht gleich sein. Ihre kurzsichtige Unschärfe verbindet sich gleichmäßig mit der Unschärfe des Objekts. Die Symmetrie ist so, dass die Gesamtunschärfe gleich bleibt, wenn die Unschärfe des Objekts zu einer Beeinträchtigung Ihres Auges wird und umgekehrt. Wenn einer von ihnen ideal ist, ist der andere unberührt. Wenn Sie perfekt sehen können, sehen Sie die genaue Unschärfe des Objekts. Wenn das Objekt ein perfekter Punkt ist, erhält man das genaue Maß für Ihre Kurzsichtigkeit.

$\log$ Fourier-Domäne kann es als eine Summe von Unschärfen interpretiert werden .

Sie können überprüfen, aber warum? Intuitive Mathematik: Faltung

Die Art und Weise, wie Sie in einer bestimmten Umgebung (Raum, offener Raum usw.) Schall hören, ist eine Faltung des Audiosignals mit der Impulsantwort dieser Umgebung.

In diesem Fall repräsentiert die Impulsantwort die Eigenschaften der Umgebung wie Audio-Reflexionen, Verzögerung und Audio-Geschwindigkeit, die sich mit der Temperatur ändern.

So formulieren Sie die Antworten neu:

Für die Signalverarbeitung ist es die gewichtete Summe der Vergangenheit in die Gegenwart. Typischerweise ist ein Begriff der Spannungsverlauf an einem Eingang eines Filters und der andere Begriff ist ein Filter oder ein solcher, der ein "Gedächtnis" hat. Natürlich nehmen bei der Videoverarbeitung alle benachbarten Pixel den Platz der "Vergangenheit" ein.

Für die Wahrscheinlichkeit ist es eine Kreuzwahrscheinlichkeit für ein Ereignis bei anderen Ereignissen; Die Anzahl der Möglichkeiten, eine 7 in Craps zu bekommen, ist die Chance, eine zu bekommen: 6 und 1, 3 und 4, 2 und 5. Dh die Summe der Wahrscheinlichkeiten P (2) multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit P (7-2): P ( 7-2) P (2) + P (7-1) * P (1) + ....

Faltung ist eine mathematische Methode, um zwei Signale zu einem dritten Signal zu kombinieren. Es ist eine der wichtigsten Techniken in DSP… warum? Mit dieser mathematischen Operation können Sie die Systemimpulsantwort extrahieren. Wenn Sie nicht wissen, warum die Systemimpulsantwort wichtig ist, lesen Sie die Informationen unter http://www.dspguide.com/ch6.htm . Unter Verwendung der Strategie der Impulszerlegung werden Systeme durch ein Signal beschrieben, das als Impulsantwort bezeichnet wird. Faltung ist wichtig, weil sie die drei interessierenden Signale in Beziehung setzt: das Eingangssignal, das Ausgangssignal und die Impulsantwort . Es ist eine formale mathematische Operation, ebenso wie Multiplikation, Addition und Integration. Die Addition nimmt zwei Zahlen und ergibt eine dritte Zahlwährend die Faltung zwei Signale nimmt und ein drittes Signal erzeugt . In linearen Systemen wird die Faltung verwendet, um die Beziehung zwischen drei interessierenden Signalen zu beschreiben: dem Eingangssignal, der Impulsantwort und dem Ausgangssignal (von Steven W. Smith). Auch dies ist stark an das Konzept der Impulsantwort gebunden, das Sie darüber lesen müssen.

Der Impuls bewirkt eine Ausgabesequenz, die die Dynamik des Systems (Zukunft) erfasst. Durch Umdrehen dieser Impulsantwort wird die Ausgabe aus der gewichteten Kombination aller vorherigen Eingabewerte berechnet. Dies ist eine erstaunliche Dualität.

In einfachen Worten bedeutet dies, dass Eingaben von einer Domäne zu einer anderen Domäne übertragen werden, in der die Arbeit leichter fällt. Die Konvektion ist mit der Laplace-Transformation verbunden, und manchmal ist es einfacher, in der Domäne s zu arbeiten, in der wir die Frequenzen grundlegend ergänzen können. und da die Laplace-Transformation eine Eins-zu-Eins-Funktion ist, ist es am wahrscheinlichsten, dass wir die Eingabe nicht verfälschen. Bevor wir versuchen zu verstehen, was der Hauptsatz der Konvulation für die physikalische Bedeutung bedeutet, sollten wir stattdessen im Frequenzbereich beginnen. Addition und Skalarmultiplikation folgen der gleichen Regel wie die Laplace-Transformation ein linearer Operator ist. c1.Lap (f (x) + c2.Lap g (x) = Lap (c1.f (x) + c2.g (x)). Aber was ist Lap f (x) .Lap g (x) was definiert den Konvulationssatz.