Bedingungen für die Vorcodierung der Matrix zur Aufrechterhaltung der komplexen konjugierten Symmetrie auf dem DFT-Vektor

Angenommen, es gibt einen DFT-Vektor mit der Länge N, der um seinen Mittelpunkt eine komplexe konjugierte Symmetrie aufweist, dh X ( 1 ) = X ( N - 1 ) ∗ , X ( 2 ) = X ( N - 2 ) ∗ und so weiter her. X ( 0 ) und X ( N / 2 ) sind die DC- bzw. Nyquist-Frequenz und daher reelle Zahlen. Die übrigen Elemente sind komplex.$\mathbf{X}$$X(1) = X(N-1)^*$$X(2) = X(N - 2)^*$$X(0)$$X(N/2)$

Angenommen, es gibt eine Matrix mit der Größe N × N , die den Vektor X multipliziert.$\mathbf{T}$$N \times N$

$$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$$

Die Frage ist:

Unter welchen Bedingungen bleibt für die Matrix die komplexe konjugte Symmetrie um den Mittelpunkt des resultierenden Vektors Y erhalten?$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

Die Motivation für diese Frage besteht darin, eine Vorcodierermatrix , die zu einem vorcodierten (vorentzerrten) Symbol Y führt, dessen IFFT real ist.$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

BEARBEITEN:

Danke @MattL. und @niaren. Die Schwierigkeit bei dieser Frage besteht darin, die notwendigen Bedingungen zu finden. Matts Antwort ist in der Tat ausreichend. Es reicht auch aus, folgende Änderungen vorzunehmen:

Die erste Zeile und die erste Spalte müssen nicht Null sein. Stattdessen könnten sie ungleich Null sein, solange ihre Werte eine komplexe konjugierte Symmetrie um den Mittelpunkt aufweisen, ihr erster Wert real ist und ihr -ter Wert real ist, genau wie das Symbol. Das gleiche könnte für die ( N / 2 + 1 ) -te Spalte, die ( N / 2 + 1 ) -te Zeile und die Hauptdiagonale angegeben werden.$(N/2+1)$$(N/2+1)$$(N/2+1)$

Zweitens könnte die gleiche Entsprechung zwischen der Matrix in der oberen linken Ecke und der unteren rechten Ecke zwischen der oberen rechten Ecke und der unteren linken Ecke hergestellt werden, dh ein Matrix beginnend mit t 2 , N / 2 + 2 bis t N / 2 , N , von links nach rechts drehen, auf den Kopf stellen und das Konjugat nehmen, dann in die untere linke Ecke setzen. Auf MATLAB wäre das:$(N/2 -1)\times(N/2-1)$$t_{2,N/2 + 2}$$t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Diese Struktur ähnelt der Struktur der DFT-Matrix. Wäre das eine notwendige Bedingung?

EDIT (2):

Der folgende Code implementiert einen solchen gültigen Operator für jede reelle Matrix A :$N \times N$$\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

EDIT (3):

Es ist auch interessant festzustellen, dass der auch den ausreichenden Zustand aufweist. Dies kommt von der Tatsache, dass:$\mathbf{T}^{-1}$

wobeiWdie DFT-Matrix ist.

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$$ $\mathbf{W}$

Da . Diese Gleichung wird:$\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$$

$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}$$\mathbf{T}^{-1}$

$\bf{T}$$a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$$N-n+1$$\bf{T}$$N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Ich bin sicher, jemand wird eine bessere und präzisere Antwort finden.

$\mathbf{T}$$\mathbf{X}$

$\mathbf{T}$$t_{11}$$t_{N/2+1,N/2+1}$$t_{11}$$t_{22}$$t_{N/2,N/2}$$(N/2-1)\times (N/2-1)$$\mathbf{T}$$\mathbf{T}$