Konfidenzintervall für die Differenz der Mittelwerte in der Regression

Angenommen, ich habe ein quadratisches Regressionsmodell

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$$ wobei die Fehler $\epsilon$ die üblichen Annahmen erfüllen (unabhängig, normal, unabhängig von den $X$ Werten). Sei $b_0, b_1, b_2$ die Schätzung der kleinsten Quadrate.

Ich habe zwei neue $X$ Werte $x_1$ und $x_2$ und bin daran interessiert, ein Konfidenzintervall für $v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$ .

Die Punktschätzung ist v = b 1 ( x 2 - x 1 ) + b 2 ( x 2 2 - x 2 1 ) und (korrigiert mich wenn ich falsch liege) ich die Varianz schätzen s 2 = ( x 2 - x 1 ) 2 Var ( b 1 ) + ( x 2 2 - x 2 1 ) 2 Var$\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

$$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$$ Verwendung der Varianz- und Kovarianzschätzungen der von der Software bereitgestellten Koeffizienten.

Ich kann eine normale Annäherung verwenden und nehme v ± 1,96 s als 95% Konfidenzintervall für v , oder ich könnte einen Bootstrap - Konfidenzintervall verwenden, aber ist es eine Möglichkeit , dass die genaue Verteilung und Nutzung zu erarbeiten?$\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$$v$

$p$$X$$X^2$$n$$\mathbf{X}$$n \times (p+1)$$\hat{\beta}$$p+1$$a \in \mathbb{R}^{p+1}$

$$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$$

$\beta$$t$

$p = 2$$a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$$\hat{\sigma}^2$$n-p-1$$n$