Multivariate orthogonale Polynomregression?

Betrachten Sie als Motivationsmittel für die Frage ein Regressionsproblem, bei dem wir versuchen, anhand der beobachteten Variablen zu schätzen. $Y$ $\{ a, b \}$

Bei der multivariaten Polynom-Regression versuche ich, die optimale Parametrisierung der Funktion zu finden

f (y) = c_{1} a + c_{2} b + c_{3} a^{2} + c_{4} a b + c_{5} b^{2} + \dots

$f(y)=c_{1}a+c_{2}b+c_{3}a^{2}+c_{4}ab+c_{5}b^{2}+\cdots$

welche am besten zu den Daten im kleinsten Quadrat passen.

Das Problem dabei ist jedoch, dass die Parameter nicht unabhängig sind. Gibt es eine Möglichkeit, die Regression auf einem anderen Satz von "Basis" -Vektoren durchzuführen, die orthogonal sind? Dies hat viele offensichtliche Vorteile $c_i$

1) Die Koeffizienten sind nicht mehr korreliert. 2) Die Werte der selbst hängen nicht mehr vom Grad der Koeffizienten ab. 3) Dies hat auch den rechnerischen Vorteil, dass die Terme höherer Ordnung für eine gröbere, aber immer noch genaue Annäherung an die Daten gelöscht werden können. $c_i$

Dies wird im Fall einer einzelnen Variablen unter Verwendung orthogonaler Polynome unter Verwendung einer gut untersuchten Menge wie der Chebyshev-Polynome leicht erreicht. Es ist jedoch (für mich jedenfalls) nicht klar, wie man das verallgemeinert! Mir kam der Gedanke, dass ich Chebyshev-Polynome paarweise vervielfachen könnte, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies die mathematisch korrekte Vorgehensweise ist.

Deine Hilfe ist wilkommen

regression gabgoh
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Wie wäre es mit der Tensorproduktbasis Ihrer eindimensionalen Polynome? Das klingt nach dem, worauf Sie angespielt haben, und sie werden orthogonal sein.

Kardinal

Ich denke, das ist eine zufriedenstellende Antwort als Frage :)

Gabgoh

Hast du damit etwas erreicht? Ich suche auch nach einer Lösung für die multivariate Regression unter Verwendung orthogonaler Polynome. Vielen Dank

Verwirrt

Antworten:

Zum Abschluss (und um die Statistiken dieser Website zu verbessern, ha) muss ich mich fragen, ob dieses Papier Ihre Frage nicht auch beantworten würde.

ABSTRAKT: Wir diskutieren die Wahl der Polynombasis zur Approximation der Unsicherheitsausbreitung durch komplexe Simulationsmodelle mit der Fähigkeit, abgeleitete Informationen auszugeben. Unsere Arbeit ist Teil eines größeren Forschungsaufwands zur Quantifizierung der Unsicherheit unter Verwendung von Stichprobenmethoden, die mit abgeleiteten Informationen ergänzt sind. Der Ansatz hat im Vergleich zur Standard-Polynomregression neue Herausforderungen. Insbesondere zeigen wir, dass eine multivariate orthogonale Polynombasis eines Tensorprodukts beliebigen Willens möglicherweise nicht mehr konstruiert werden kann. Wir bieten ausreichende Bedingungen für die Existenz eines solchen orthonormalen Satzes, eine Grundlage für den Raum, den er überspannt. Wir demonstrieren die Vorteile der Basis bei der Ausbreitung von Materialunsicherheiten durch ein vereinfachtes Modell des Wärmetransports in einem Kern eines Reaktorkerns. Verglichen mit dem Tensorprodukt Hermite Polynombasis,

Ansonsten ist die Tensorproduktbasis eindimensionaler Polynome nicht nur die geeignete Technik, sondern auch die einzige , die ich dafür finden kann.

Aarthi
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